慶應義塾
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コイン投げからその先へ

公開日：2026.11.10

登場者プロフィール

  • 坂川　博宣

    坂川　博宣

確率論は数学の一分野ですが、確率という言葉は日常生活でもよく用いられており、また、中学校や高校で学ぶ数学でも現れるので、数学の中でも（好き嫌いは別にして）身近で直感も働きやすい分野だと思います。その目標は端的に言えば、 「でたらめに起こる現象の中からある種の法則性を見つけ、それを数学の言葉で説明したい」 ということになるでしょうか。そこで、以下ではコイン投げを題材にして確率論の研究ではどのようなことを考えたいのかを簡単に紹介したいと思います。 いま、{X_i }_(i≥1)を独立同分布に従う確率変数列で P(X_i=1)=P(X_i=0)=1/2 を満たすものとします。1を表、0を裏と解釈すれば X_i は公平なコインを繰り返し投げたときの i 回目の結果を表します。このとき、次が成立します。 P(lim┬(N→∞)⁡〖1/N〗 ∑_(i=1)^N▒X_i =1/2)=1 これは大数の法則と呼ばれる確率論における代表的な定理の一つです。意味としては、公平なコインを繰り返し投げたとき、次に表、裏のどちらが出るかはランダムでわかりませんが、コイン投げを繰り返せば表が出た割合1/( N) ∑_(i=1)^N▒X_i (={X_i }の標本平均)は一回のコイン投げで表が出る確率1/2(=各X_iの期待値)に非常に近くなるという主張です。まさに前述した目標に当てはまるものと言えるでしょう。一方で、これだけだと「たぶんそうだろうな」と多くの人が直感的に思っている主張が定式化されただけで、物足りなく感じる人もいるかもしれません。そこでもう少しだけ複雑な例を考えます。いま、S_k=∑_(i=1)^k▒(2X_i-1) , k≥1とします。これはコインを投げて表が出たら1受け取り、裏が出たら1支払うという賭けを行ったときのk回目終了時での所持金を表します。各kに対し、S_kが正の場合は賭けで勝っているということになりうれしいわけですが、N回目のコイン投げ終了時までのその時間の長さをT_N (=S_k>0を満たす1≤k≤Nの数)とします。
このとき、任意の0≤a<b≤1に対し、次が成り立つことが知られています。 lim┬(N→∞) P(a≤T_N/N≤b)=1/π ∫_a^b▒1/√(x(1-x) ) dx (=2/π {Sin^(-1) (√b)-Sin^(-1) (√a)}) これは逆正弦法則と呼ばれる古典的な定理ですが、特に右辺の積分の非積分関数y=1/√(x(1-x) )のグラフは区間(0,1)上で直線x=1/2に関し対称かつ、下に凸であることを考えると、この命題はNが大きいとき公平な賭けで勝っている時間の割合T_N/Nは0か1に近い確率のほうが大きく、勝っている時間と負けている時間の割合が同じぐらいとなることが確率的に最も小さいということを意味します。つまり、「“ツキ”は存在する」ということを数学的に説明しているとも解釈でき、私を含め多くの人にとって言われてはじめて気付く(納得する)ような主張ではないでしょうか。このように確率論の研究において本当に面白いのは、偶然性によって引き起こされる直感ではすぐには思いつかないような現象が数学を通すことで見えてくる(かつ数学的に厳密に証明される)ことにあります。 私自身は確率論の中でも特に統計力学に関連した話題に興味を持っていますが、図1は物理的な解釈もできて、{S_k }のグラフの上側と下側に異なる2つの相があると考えれば(1+1)次元空間内のランダムな相分離界面とみなせます。また、別の解釈としては各点(k,〖 S〗_k ), 0≤k≤N を単量体の位置とみてグラフを長さNの一本の高分子鎖の確率モデルとみなす場合もあります。コイン投げは身近な確率論の話題ですが、これに対する考察が研究の出発点や、問題を解く鍵となることも少なくありません。
学問のすゝめ（研究紹介）