論文

等比数列でない線形回帰数列により生成される冪級数、Lambert級数、無限積の、複数の代数点における値が同時に代数的独立となる明示的な必要十分条件を与えた。また、任意の代数点における値に関してLambert級数と無限積は、冪級数に比べて代数的独立となり易いことを明らかにした。

有理数体上１次独立な正の数の d(≧2)進展開において小数点を順次右にシフトした数の整数部分から成る数列を指数の数列とする冪級数の代数点における値が、任意の異なる d に対してすべて代数的独立であることを、回帰的関数方程式をみたす多変数の補助関数列を構成することにより証明した。

連分数表示をもち、線形回帰数列により生成される或る関数の相異なる代数点における値が代数的独立となる明示的な必要十分条件を与えた。特に、フィボナッチ数列により生成される場合にはこの関数の相異なる代数点における値はすべて代数的独立となることも示した。

２次無理数のNewton法による近似計算の誤差級数がMahler 関数の特殊値となる現象から或る種の１変数Mahler 関数の望遠鏡級数による表示を発見した。これを上記項目3.の方法と組み合せることにより線形回帰数列の逆数和であって緩やかに収束するものについて代数的独立性を証明した。

ある種の１変数Mahler型関数方程式が有理関数解をもつ場合を決定した。その結果を応用し、フィボナッチ数列の等比数列に対応する部分列を含む整数列の逆数和が代数的数となる場合を完全に決定し、それ以外の場合の和は超越数となることを示した。また、トリボナッチ数列の等比数列に対応する部分列の逆数和は超越数となることも示した。

Hadamard gap をもつ或る冪級数の代数点における値の超越性判定定理を精密な補助関数を構成することにより与えた。この定理から超越性が未知であった よく知られた冪級数の代数点における値の超越性を導いた。

係数の数列と指数の数列がともに線形回帰数列である冪級数の代数点における値の代数的独立性を証明し、種々の応用例を与えた。

Substitution の不動点で記述可能な数列の母関数が一種のMahler 関数であることに着目し、実代数的無理数の２進展開はconstant length のsubstitution の不動点で記述できない数列であるというLoxton – van der Poorten の予想を肯定的に解決した。

ある種の１変数Mahler関数の有理関数体上での1次独立性を証明し、それを応用してフィボナッチ数列の等比数列に対応する部分列の負冪和の代数的独立性を証明した。

ある種の多変数の関数方程式が有理関数解を持たないことを、既約代数多様体の生成点を用いる新しい手法により証明した。その応用として、線形回帰数列の合成数列逆数和の代数的独立性に関する重要な問題を解決した。また、線形回帰数列により生成される冪級数、Lambert級数、無限積を併せた代数的独立性も証明した。

フィボナッチ数の逆数の和の代数的独立性について得られた結果の和文による解説に加え、主要な補題を一般化した。

線形回帰数列を指数の数列とする冪級数の代数点における高階導関数も含めた値が代数的独立となる明示的な必要十分条件を求めた結果の和文による解説。

線形回帰数列を指数の数列とする冪級数の相異なる代数点における高階導関数も含めた値、および相異なる初期条件を有する線形回帰数列を指数の数列とする冪級数の代数点における高階導関数も含めた値がそれぞれ代数的独立となる明示的な必要十分条件を与えた。