論文

0と1を係数とする冪級数において，1を係数とする項の指数から成る非負整数列を考える．そのような数列が等差数列と等比数列の和で表される場合について，当該冪級数の収束円内の0を除く任意の代数的数における値および任意の階数の微分係数をすべて併せた無限集合が代数的独立となる必要十分条件を記述した．

本論文では、正整数からなる特定の合同条件を満たす線形回帰数列によって生成され、二面体群の作用に関して不変な3変数関数の、代数点に代表される軌道における値の代数的独立性を証明した。先行研究では、上記の特別な場合であるクラインの4元群の作用に対して不変な2変数関数について同様の結果が示されていた。さらに応用として、上記の3変数関数の値の集合が代数的従属となる必要十分条件を明示的な線形関係式として導出した。

冪級数であって0でない係数をもつ項の次数に大きな跳びがあるものを空隙級数という。空隙級数であって0でない係数をもつ項の次数が任意の正整数を法とする任意の剰余類に無限個分布するようなものは微分完全代数的独立性をもつと予想した。微分完全代数的独立性とは、一つの解析関数であって、その定義域内にあるすべての代数的数における値および、そのような点における任意の階数の微分係数をすべて併せても代数的独立となる、という性質である。そのような空隙級数の中で多変数Mahler関数の特殊化として得られるタイプのものに関しては、ある種の降下法が適用できることを見出した。その結果、0でない係数をもつ項の次数が簡単な構造の線形回帰数列を成し、微分完全代数的独立性を有する空隙級数の構成に成功した。即ち、より簡単な構造でありながら著しい代数的独立性を示す関数が構成できた。

We construct a complex entire function with arbitrary number of variables which has the following property: The infinite set consisting of all the values of all its partial derivatives of any orders at all algebraic points, including zero components, is algebraically independent. In Section 2 of this paper, we develop a technique involving linear isomorphisms and infinite products to replace the algebraic independence of the values of functions in question with that of functions easier to deal with. In Sections 2 and 3, using the technique together with Mahler's method, we can reduce the algebraic independence of the infinite set mentioned above to the linear independence of certain rational functions modulo the rational function field of many variables. The latter one is solved by the discussions involving a certain valuation and a generic point in Sections 3 and 4.

Hecke-Mahler級数とは、実数ωに対する正整数n倍の整数部分 [nω] から成る数列 {[nω]} の母関数である。本論文では、ωがある適切な条件を満たす２次無理数のとき、Hecke-Mahler級数およびその任意の階数の導関数の、単位円内の0以外の代数的数における値をすべて併せた無限集合が代数的独立となることを証明した。上記の適切な条件を満たす２次無理数ωとして代数的整数である場合が含まれる。Mahlerの方法を用いて、Hecke-Mahler級数の値の代数的独立性を、Hecke-Mahler級数自身の有理関数体を法とする１次独立性に帰着させる。この１次独立性を証明するには、与えられたベクトルのスカラー倍の各成分の小数部分を取って得られる点列の分布について考察する必要があった。

整関数であって0以外の代数的数における値が任意の階数の微分も含めてすべて代数的独立となる実例が複素数体上では存在することが先行研究で知られていた。我々は、正標数の関数体においてそれと全く同等の性質を有する関数の実例を得た。これは任意の付値により完備化した正標数の関数体上で成立するMahler関数自身およびその値の代数的独立性の判定定理を証明することで得られた結果である。

著者の先行研究において、0以外の代数的数全体と単位円内の0でない代数的数全体の直積集合に属する任意の相異なる点における値がすべて代数的独立となる２変数関数を構成した。本論文では、上記の２変数関数にある種のバランス化を施し、定義域を複素数全体と単位円周を除く複素数全体の直積集合に拡張した関数が次の性質を有することを示した。この関数は定義域に対するクラインの４元群の作用に関する軌道全体の集合上で定義された写像とも見做すことができ、この写像は代数点に代表される任意の相異なる軌道における値がすべて代数的独立となる。

Mahler関数において変数の変換を表す行列は非負行列に限る、という従来の制約の外にある多変数Mahler関数の新しいクラスについてその値の代数的独立性を示し、2項回帰数列で生成されるLaurent級数の値の代数的独立性を証明した。

無限積表示される整関数であって零点以外の相異なる代数的数における値及びそれら代数的数における逐次微分をすべて併せた無限集合が代数的独立となるものを、2項回帰数列の等比数列に対応する部分列を用いて構成した。これを達成するため多変数Mahler関数の特殊値の新たな代数的独立性判定定理を証明した。

フィボナッチ数列およびルカ数列の等比級数に対応する部分列を零点としてもつ無限積として表示される整関数について、実代数点における値が代数的従属となる極小関係式の新しい実例を与えた。

等比級数のフィボナッチ数列およびルカ数列に対応する部分列を零点としてもつ無限積として表示される整関数について、零点を除く代数的数における逐次微分をすべて含めた値が代数的独立となることを証明した。

フィボナッチ数列およびルカ数列の等比級数に対応する部分列を零点としてもつ無限積として表示される整関数について、整数点における値が代数的独立となる必要十分条件を決定した。

q超幾何級数において q の指数を線形回帰数列で置き換えた級数について、相異なる代数的パラメータの任意の組に対する値が代数的従属となる必要十分条件を２個の代数点間の同値関係として求めた。更に、q超幾何級数のフィボナッチ類似については、すべての相異なる代数的パラメータの組に対する値が代数的独立となることを証明した。

q超幾何級数において q の指数を線形回帰数列で置き換えた級数の、相異なる代数的パラメータの任意の組に対する値が代数的従属となる必要十分条件は２個の代数点間の同値関係となること、および q超幾何級数のフィボナッチ類似については、すべての相異なる代数的パラメータの組に対する値が代数的独立となることについて解説した。

Mahlerの方法による Mahler-Manin 予想の証明を解説した。また、独自に考案した最も簡単な場合のMahlerの方法による代数的独立性のself-contained な証明を詳述した。

q 超幾何級数において q の指数を線形回帰数列で置き換えた級数について、それを生成する線形回帰数列がフィボナッチ数列のみたすような或る条件をみたす場合には、すべての相異なる代数的パラメータの組に対する値が代数的独立となることを証明した。

望遠鏡級数に関する一般的な恒等式を証明し、それを用いて収束速度が異なる線形回帰数列の逆数和の間の１次関係式を求めた。更に、それを応用し種々の線形回帰数列の逆数和の代数的独立性を証明した。

線形回帰数列の逆数から成る緩やかに収束する正項級数の和と、その等比数列に対応する部分級数の和との代数的独立性を証明した。