共同研究・競争的資金等の研究課題

[金井]剛性問題を念頭に置き,微分同相群,あるいはその等質空間のゲルファンド・フックスコホモロジーの計算を行った.また,階数が2以上の非コンパクト半単純リー群に付随した高階アーベル群のアノソフ作用に対し,その無限小剛性に関する新たな知見を得た. [井関]n次元球面に作用するクライン群が凸ココンパクトならば,その不連続領域の商空間はコンパクトである.極限集合のハウスドルフ次元がn/2未満である場合には,逆も成立することを証明した. [井関・納谷]単体複体から非正曲率距離空間への組合せ的な調和写像を定義し,適当な仮定の下での調和写像の存在を証明した.さらに,その応用として,ある種の離散群の非正曲率距離空間への作用に関する固定点定理を示した. [小谷]砂田利一氏との共同研究で,結晶格子上のランダム・ウォークに関する大偏差原理を調べた.また,非可換トーラスの微分構造を用いて,磁場に滑らかに依存する自己共役な作用素のスペクトル端は磁場に対してリプシッツ連続性を持つことを示した. [坪井]射影的アノソフ流に対し、付随する安定,不安定平面場が滑らかな葉層構造を定める場合、正則とよぶ。ザイフェルトファイバー空間における正則な射影的アノソフ流は付随する葉層がコンパクト葉を持たないときに正則なアノソフ流になり、Ghysの結果によつて擬フックス流となることを説明した。 [藤原]Bestvina氏との共同研究で、写像類群の部分群の2次有界コホモロジーを計算した。その応用として、リー群の離散部分群が写像類群の部分群にならない事実の別証を得た。

群という代数的対象は「空間の対称性を表す数学的な言葉」でもある。本研究では、これまで個々の特殊な群がもつ性質として扱われてきた「超剛性」を、より広いクラスの群のもつ性質のある意味でのextremalな性質として捉えることを試みた。その成果として、「超剛性」という性質の一部を取り出した「固定点性質」という性質が、ランダムに与えられた群が非常に高い確率でもつ性質・現象であることを様々な設定の下で明らかにした。

群が非常に限定的な空間に対してしか作用し得ないとき、その群は剛性をもつと言われる。また、ある空間Yへの群Γの作用が必ず固定点をもつとき、群ΓはYに対する固定点性質をもつと言う。群の固定点性質は剛性の一つの現れと見ることができる。最近の研究の成果は、剛性をもつ群は従来考えられてきたよりも多く(あるいは高い密度で)存在するということを示唆している。本研究は、この現象を確率論的な視点から明らかにした。すなわち、ある仕方で群を与えたとき、非常に高い確率で強い固定点性質をもつ群が現れることを証明した。

本研究の目的は,非正曲率空間に作用する離散群のある種の剛性を,単体複体から非正曲率空間への調和写像を用いた幾何学的な手法で研究することであった.この目的に対し,交付を受けた補助金により,研究代表者および研究分担者は以下のような成果を挙げた. 単体複体Xに固有不連続かつ余有限に作用する離散群ΓのHadamard空間(非正曲率距離空間)Yへの作用を任意に与え,Γの作用と同変なXからYへの写像を考える.井関裕靖(研究代表者)と納谷信は,このような同変写像がエネルギー汎関数の勾配流に沿って定値写像に収束するための十分条件を与えた.同変写像として定値写像がとれるということは,ΓのYへの作用が固定点をもつことを意味する. その後,これをさらに一般的な設定へと拡張した.XとしてΓが余有限に作用する可算集合をとる。Xに適当な条件を満たすウェイトが存在するときにXからYへの同変写像がエネルギーの勾配流に沿って定値写像へと収束する(したがって,ΓのYへの作用は固定点をもつ)ための十分条件を定式化することに成功した.とくに,有限生成群Γに対して,XとしてΓ自身をとると,条件を満たすウェイトをΓの表示から構成することができる.これにより,Γの表示の情報だけからYへの等長的作用が固定点をもつための十分条件を与えることが可能になった.この結果を応用として,Hadamard空間のあるクラスに対する固定点性質をもつ群が非常に豊富に存在することを,ランダム群の概念を用いて証明した. 金井雅彦は,上の議論に必要なBochner型公式と関係の深い松島の公式を,Weylチャンバー流の葉層構造の剛性の観点から研究した.小谷元子は離散群の作用をもつ一次元単体複体上のランダムウォークの大偏差原理について研究した.藤原耕二は有限生成群が作用するHadamard空間の最小次元について研究した.

ある種の超エルミート多様体を底とするトーラス束における超CR構造の構成法を導き、様々な擬凸性や他の類似の構造との違いを与える例を構成した。また、超CR多様体におけるCR構造の族とそのツイスター空間上のCR構造の積分可能性の関連を調べた。定スカラー曲率ケーラー構造に関連して、ハミルトンS^1-作用をもつコンパクト不定値ケーラー曲面は、ある線織面に双正則であり、さらに、全スカラー曲率が零ならばあるヒルツェブルフ曲面に双正則であることを示した。

数論、代数幾何学、微分幾何学、トポロジー、それに数理物理、素粒子論を中心として、非可換な対象物を扱い、新しい幾何学の流れを構築することを目標に置いている。本研究の特徴は、基軸となる研究である変形量子化問題と非可換幾何学を推進し、これによる微分幾何学の非可換化（量子化）手法を確立させ、それを発展させるというまったく新しい立場からの研究を行うことにある。特に、Non-formal deformation quantizationの手法を用いて、数学および素粒子物理学との融合研究を進め、この分野の国際的なネットワークを構築することを目的としている。

研究代表者・納谷信は、昨年度に引き続き、連携研究者・小林俊公(摂南大学工学部・講師)、研究協力者・豊田哲(名古屋大学大学院多元数理科学研究科、博士後期課程3年)とともに、井関と納谷が論文Combinatorial harmonic maps and discrete-group actions on Hadamard spaces, Geometriae Dedicata 114 (2005), 147--188において導入した不変量δを、できるだけ一般的なCAT(0)空間の接錐に対して上から評価するという問題について研究を行った。豊田哲は、方向空間全体のなす距離空間族がグロモフ・ハウスドルフ距離に関してプレコンパクトであるようなCAT(0)空間の族に対して、そのすべての接錐のδが1より小さい定数によって上から一様に押さえられることを示した。 また、小林俊公と納谷は、あるクラスの1次元球面的ビルディングに対して、その上の距離錐の動径的歪み係数(ユークリッド空間に、原点からの距離を保ちながらできる限り等長的に近くなるように埋め込んだときの等長写像からのずれをはかる不変量)のよい評価を与え、それによりそれらの距離錐のδの上からの評価を得た。さらに、求めた値が最適値を与えるか否かという問題を解決することを念頭において、歪みの評価の問題への表現論を用いたアプローチについて考察した。

本研究は離散距離空間の高次元的な構造を見出すことにより離散距離空間の「形」を捉え、さらにこれを離散群の剛性理論等へ応用することを目標としていた。離散距離空間の「高次元的な構造」を満足な形で捉えることは叶わなかったが、その研究過程で得られた観察や結果から、ある種のランダム群が非正曲率空間に対する強い固定点性質をもつことを示すことができた。また、離散距離空間の非正曲率距離空間への埋め込みに対するスペクトルギャップの幾つかの評価を与えることにも成功した。

Gromovによって構成されたエクスパンダーの擬等長像を含む群がCAT(0)空間の大きなクラスに対して固定点性質を持つことを証明した。Margulis超剛性定理の幾何学的証明の試みと関連して、PGL(3,Q_p)に付随する2次元ユークリッド的ビルディングのある幾何学的不変量の厳密値を決定することを目標に、p=2の場合を詳しく考察し、対応する多面体の変形問題について進展を与えた。離散群の剛性問題を背景として、強擬凸CR構造、四元数CR構造といった共形的幾何構造の研究を行い、いくつかの結果を得た。

結晶格子上のランダム・ウォークの長時間挙動及び磁場付き推移作用素のスペクトルの性質と結晶格子の幾何学的性質の関係を研究し,総説をまとめAmer. Math. Soc. Sugaku Expositoryに公表した.結晶格子をもっとも対称性が高く自然な形に表す標準的実現がキーとなる記述であるが,中心極限定理のスケーリング,大偏差のスケーリングでは異なる幾何学的対象が捕らえられる.結晶格子とは,自由アーベル群が自由に作用し,商空間が有限グラフとなる無限グラフである.この周期性から,結晶格子を無限遠から観察すると一様な図形に見える.より正確に述べる.結晶格子をグラフ距離によって距離空間と考え,距離をスケール変換した距離空間の1パラメーター族を得る.このスケールをゼロに近付けたときのグロモフ・ハウスドルフ位相による極限距離空間を,結晶格子の無限遠での接錐という.結晶格子のようなアーベル周期性をもつ距離空間の無限遠での接錐の存在は,グロモフによって知られているが,この極限距離空間を具体的に,また,グラフの幾何の言葉で特徴つけた.更に,この極限空間の単位距離球が,ランダム・ウォークの大偏差源氏に現れるレート関数の本質的定義域と一致することを示し,Math.Z.に発表した.3次元ユークリッド空間に標準的実現された結晶格子のなかで最も等方性の高いグラフの分類が行われ,ダイヤモンドと対となるK4格子が特徴付けられた,これを炭素格子として実現した場合の安定性,更にどのような物性を持つ可能性があるかについて研究を行なった.

組合せ調和写像をランダム群の固定点性質の解明に応用する研究を行った。成果として、三角モデルのランダム群があるクラスに属するCAT(0)空間のすべてに対して固定点性質を持つという結果を得た。また、グラフモデルのランダム群がより広いクラスに属するCAT(0)空間のすべてに対して固定点性質をもつことを証明した。これらCAT(0)空間のクラスは、ある不変量δを用いて記述されるので、不変量δを上から評価する問題に取り組んだ。CAT(0)空間の接錐の歪み係数を用いて上から評価できることを明らかにし、ユークリッド的ビルディングの場合にこの評価を実行した。

空間の対称性を数学的に記述するときに用いられる概念が「群」および「群の空間への作用」である。本研究では、どのような群がどのような空間に作用し得るかを、幾何学的な手法で研究した。その際に用いられるのは、群の空間への作用の様子のもっとも効率のよい実現を与える調和写像と呼ばれる写像である。この研究成果から、ある種の空間に非自明な仕方で作用し得ない群が非常に多く存在することが明らかになった。

代数群PGL(3,Q_p)(pは素数) に付随する2次元ユークリッド的ビルディングの頂点における接錐の不変量δの厳密値を決定することを目標とし、p=2の場合を詳しく考察した。問題は、ある14次実対称行列を適切に変形する問題として定式化され、この行列は9個の未知パラメータ(1変数関数)を含むが、このうち6個のパラメータを決定することができた。

多様体上の中間符号の擬リーマン計量をニュートラル計量と呼び、局所的なニュートラル計量の族を－１倍の不定性を許して張り合わせて得られる構造をニュートラル構造と呼ぶ。ニュートラル構造と適合する四元数類似構造（パラ超複素構造）を持つコンパクト複素曲面のダビドフ他による例のうち、超楕円曲面の例について局所共形パラ超ケーラーでないニュートラル構造に変形できることが分かった。また、四元数CR多様体（次元は７より大きい）に対する強積分可能性の概念を導入し、超擬凸性と強積分可能性の下、そのツイスター空間上に部分的積分可能な概CR構造（ツイスター概CR構造と呼ぶ）が自然に定まることを示した。

幾何学と確率論の異なる分野の関わりを通じて、これまで扱えなかった特異性のある空間や離散的な空間の幾何学の新たな研究方法を開拓することを目的とし、ランダムウォークの量子版である量子ウォークや、非対称ランダムウォークの長時間挙動の幾何学的理解、ランダム群の固定点性質、Alexandrov空間のBishop-Gromov型の不等式、ランダムグラフの収束性などに関する結果を得て、発表した。

本科学研究課題の目標は,共形幾何および閉多様体上の群C^*環バンドルの,微分トポロジー・スピン幾何・大域解析・非線形解析および離散群・K理論等による総合的研究であった. 特に,共形幾何における山辺不変量の位相的および大域解析・非線形解析的研究であった. 具体的研究成果は,下記の通りである. 研究分担者間で定期的に研究連絡等を行なった.また,国内・国外へ出張,および海外共同研究等の招聘により,微分幾何,多様体上の大域解析・非線形解析の総合的研究を行なった. (1)芥川は,海外研究者と3次元多様体および積多様体の山辺不変量に関する結果を得て,下記の論文にまとめており出版予定である. ・Kazuo Akutagawa and Andre Neves, 3-manifolds with Yamabe invariant greater than that of RP^3, to appear in Journal of Differential Geometry. ・Kazuo Akutagawa, Luis Florit and Jimmy Petean, On Yamabe constants of Riemannian products. 芥川はまた,海外共同研究者のA.Neves(Princeton大学)と,コンパクト多様体の無限被覆の山辺定数に関して,いくつかの興味深い結果を得ており,現在進行中である. (2)小林は,Einstein計量から誘導される接続の変分学的特徴付け・正則曲線の射影構造等の,共形幾何および射影幾何における新しい展開を得た. (3)久村は,完備多様体上のラプラス作用素の固有値の非存在に関して,最良の結果を得ており,下記の論文を投稿中である. ・Hironori Kumura, Geometry of an end and absence of eigenvalues in the essential spectrum. (4)井関は,離散群,特にランダム群の非正曲率距離空間への固定点に関する研究成果を得た. (5)利根川は,2相分離問題の幾何的測度論による研究成果を得た. (6)森吉は,捩れK理論や亜群C^*環を扱い,一般化されたGromov-Lawson予想に関する結果を得た. 上記の研究において,研究費補助金による国内・国外の研究者の招聘等での直接的な研究連絡は,きわめて重要であった.

コンパクト多様体と言う空間に対して, そこに実現される形(リーマン計量) の在り様全体のなかで最も自然な形を求めることを目標とし, そのため導入された指標が山辺不変量と呼ばれる(共形幾何を経由して)定義された微分位相不変量である.この不変量を求めること, およびその振舞いを調べることが目標である.本研究では, 正の3次元多様体の山辺不変量の計算及びその振舞いに関して成果を得た.また正の山辺不変量を持つ直積多様体に関して, その下からの評価を与えた.さらに, この下からの評価と山辺不変量の手術理論の間に成立すると予想される, 山辺不変量に関する不等式の提出とこの予想の部分的結果を得た.

閉曲面の写像類群、Coxeter群、Artin群のコホモロジーをはじめとする離散群のコホモロジーは、未だに未解明の部分が多い。本研究では以下の3つのテーマを軸として、上に挙げた群をはじめとする離散群のコホモロジーを研究した。 (1)有限部分群のコホモロジーとの関係 (2)離散群が作用する空間(複体・多様体)と組合せ構造 (3)代数的な手法(組合せ論・自由分解など) (1)は「離散群の有限部分群のコホモロジーおよびその射影的極限を調べることにより、離散群のコホモロジーの"1次近似"を得ること」を主な目的とした。主な成果として秋田と河澄による「写像類群の巡回部分群に対するGrothendieckのRiemann-Roch定理の整係数コホモロジーにおける類似(整係数Riemann-Roch公式)」が挙げられる。 (2)ではこれらの複体の幾何構造をコホモロジーの研究にも応用することを目的とした。井関、保坂により多くの結果が得られた。(3)に該当する成果として秋田の「偶数次元多様体のEuler数」と廣瀬の「周期的写像の表示」の研究が挙げられる。前者は一般化されたDehn-Sommerville公式を用いることによりEuler数の通常とは異なる公式を与えたものである。さらに秋田は写像類群のmod p森田-Mumford類へのSteenrod作用素の作用を完全に決定し、それと古典的なKummerの合同式を用いて、多くの場合にmod p Riemann-Roch公式が成立することを証明した。

研究代表者金井は, 高階非コンパクト半単純リー群およびその余コンパクト格子に付随して現れるワイル領域流 (Weyl chamber flow) の剛性とヴェイユや松島の古典的な消滅定理の間に予期せぬ関係があることを指摘する新たな結果を得た. 剛性問題に新たな進展をもたらすことが期待される. このほかにも, 連携研究者等により剛性問題に対る新たな知見が多数得られた