共同研究・競争的資金等の研究課題

昨年度に引き続き, 球面S^n内の高種数の極小閉曲面を構成する問題について研究を行った. 研究の動機として, ラプラシアンの第1固有値を最大化する閉曲面上の計量が球面への極小はめこみによる誘導計量として与えられることが知られており, したがって, 球面内の高種数の極小閉曲面を構成することで, そのような最大化計量の候補が得られるということがある. 種数3以上の場合に最大化計量が未知であるので, とくに種数が低い例を与えることを目指している. LawsonによるS^3内の高種数極小閉曲面の構成を高次元化し, S^nの3角形分割として正2^{n+1}胞体を用いることで高種数の極小閉曲面を構成した. ただ, この構成で得られる極小閉曲面は自己交叉点を多く持ち, しかも種数が高くなる傾向がある(S^5, S^6で種数5, S^7で種数49等). 最大化計量を与える極小閉曲面は, 高い対称性を持つとともに, 自己交差が少ないことが期待されるので, 今後, 別の構成法を考案して, 自己交叉が少なく種数も低い例を見出したい. また, 昨年度に引き続き, 有限グラフのユークリッド空間への埋め込みに関する最適化問題と線形スペクトルギャップの最大化問題について研究を行なった. この研究は, 有限グラフの非線形スペクトルギャップの研究に動機付けられたものである. 類似の埋め込み最適化問題としてGoering-Wappler-Helmbergによるものが知られていたが, 両者の埋め込み最適化問題の関係を明らかにすることにより, 我々の埋め込み最適化問題の最適値と第線形スペクトルギャップの最大値の間にもある等式が成立することが示せた. また, アルキメデス多面体を始めとして対称性の高い様々な多面体について, Goering達および我々の埋め込み最適化問題の解を求めることができた.

周期性をもつグラフ(有限グラフのアーベル被覆グラフ)を結晶格子という。結晶格子に周期的な磁場がかかっている場合の電子の振る舞いを表す有界自己共役作用素を磁場付き推移作用素という。まず、結晶格子の「磁場付き推移作用素」を定義し、それが妥当な定義であることの証拠として、中心極限定理を得た。即ち、磁場付き推移作用素が時間無限大でユークリッド空間の磁場付きラプラシアンに収束することを示した。更に、このときのユークリッド計量および、極限に現れるベクトル・ポテンシャルの幾何学的意味を明らかにした。次に群のコホモロジーを用いて結晶格子における「磁場」を定義し、磁場付き推移作用素のスペクトルの磁場に関する依存の滑らかさを調べた。磁場付き推移作用素を磁場によって定まるC*環の元と見ることが本質的である。C*環の連続場および、非可換トーラスの微分構造を用いて、磁場に滑らかに依存する自己供役な作用素のスペクトル端は磁場に対してリプシッツ連続性を持つことを示した。 また、磁場のないばあい、すなわち結晶格子のランダム・ウォークに関して大偏差原理が成立することを示し、その幾何学的意味をあきらかにした。結晶格子のスケールをゼロに収束させると、有限次元ベクトル空間にバナッハ距離を入れた距離空間にグロモフ・ハウスドルフ収束するが、この極限距離空間と大偏差に現れるレート関数に関係があることを観察し、バナッハ距離が結晶格子の幾何で具体的に求まることを示した。

・板東は、ケーラー多様体や複素正則ベクトル束のアインシュタイン計量の存在問題を研究した。アインシュタイン計量の存在と多様体の安定性は密接な関係があると思われるが、それに関わる汎関数の有用な表示を得た。また、調和な幾何学的対象の存在をグリーン関数を用いて研究する論文を纏めた。 ・西川は、上野慶介氏(山形大学)と共同で、負曲率等質多様体間の調和写像の無限遠境界値問題と、複素双曲型空間形の間の調和写像の複素解析性に関して研究を行った。境界までC^4級にのびる固有な調和写像で、理想境界上で非退化なCR写像であるものは、正則写像に他ならないことを示した。 ・浦川は、調和写像、ヤングミルズ接続などの研究を引続き行なう一方、それらの手法を離散化してグラフ上で行ない、有限、または無限グラフのラプラス作用素のスペクトル、グリーン核などの評価、調和写像の離散的なアナロジーなどの研究を行なった。 ・石田は、トーリック多様体と密接な関係のある(有理)扇の拡張である実扇を研究した。実扇上の次数付き外積加群のカテゴリーを導入し、そこでの双対化関手を定義し、セールの双対性定理やポアンカレの双対性定理に相当する定理を示した。 ・高木は、生物の形態形成の基礎モデルとしてA.GiererとH.Meinhardtによって提唱された反応拡散方程式系に関する研究と、赤血球の形態変換のモデルとなる曲げエネルギー汎函数に対する制約極値問題に関する研究を行った。 ・井関は、実双曲空間に作用するクライン群のエントロピー剛性および凸ココンパクト性に関する研究を行った。凸ココンパクトなクライン群の極限集合のハウスドルフ次元と、群のコホモロジー次元の間の不等式に関する予想を部分的に解決した。 ・中川は、板東・Calabi・二木指標について研究し、Fano多様体の場合にわかっていたいくつかの性質を、一般の射影的代数多様体のKahler類にまで拡張した。ある仮定の下で、板東・Calabi・二木指標の羃単部分群のLie環の上の消滅や、板東・Calabi・二木指標の群の指標へと持ち上げの存在を示した。

リーマン面からリー群・対称空間への調和写像の研究に関しては、大仁田は、Guestとの共同研究で、有限次元および無限次元群の作用をループ群論におけるグラスマン模型を利用して、その幾何学的構造を明らかにした。その重要な応用として、Morse-Bott理論的な調和写像の変形により、いくつかの基本的な対称空間への調和写像の空間の連結性、基本群に関する成果を得た。これは、古田・小谷・向井らの協力が大きい。これらの成果は、論文にまとめられ発表予定あるいは投稿中である。 荻上は、複素微分幾何および部分多様体の研究を展開しており、若い研究者を大いに刺激し、この研究課題の推進に大きく貢献した。複素微分幾何への調和写像の方法の応用は、多くの人々の注目するところであり、今後多くの成果が期待されるので、この研究計画の継続はぜひ必要である。また、平均曲率一定の曲面などの部分多様体と可積分系の理論の関連は、現在、最も話題となっている領域であり、佐々井や若い研究者たちとも協力して、研究・調査・情報収集を続けて行く必要がある。 吉田は、ゲージ理論的方法による多様体の研究をしており、Floerホモロジーに関して大変重要で画期的な仕事をしている。それは、すでに発表されたり、現在 新しい成果を論文にまとめている。 大原は、ノットのエネルギー汎関数の導入に関して、非常に独創的な研究をしており、今後 大きな発展が期待され、注目されている。 井関は、共形的に平坦な多様体や共形構造の変形について活発に研究を進め、次々と新しい結果を得ている。そのような多様体と調和写像・ツイスター幾何学との関連は興味ある1つの問題である。 この研究課題において、正則ベクトル・代数多様体の理論は不可欠であり、笹倉・卜部・中島の協力は大きい。最近、長友は、四元数ケーラー多様体のゲージ理論で意欲的に良い仕事をしている。

リーマン面から対称空間への調和写像の研究に関しては、リーマン球面からの調和写像の空間の位相構造に関しては、まだまだ明らかにされていない問題も多いが、連結性・基本群に関する今までの結果を、より一般のコンパクト対称空間のあるクラスに拡張することができた。この結果は、国内のいくつかの研究会・シンポジウムとイギリスでの国際シンポジウムで発表し大変興味をもたれ、現在、大仁田は、M.A.Guest氏、向井との共同研究として論文を準備中である。今後の発展も期待されている。 可積分系(ソリトン方程式)の理論の調和写像、曲面論などの微分幾何学への応用に関する進展はイギリス・アメリカ・ドイツなどの研究者により次々現れており、われわれともかなり競争的な様相にある。前田氏・榎本氏の専門的知識の提供による研究協力もあり、荻上らの部分多様体の研究においても新しい結果が得られつつある。 井関は、多様体の共形構造を研究しているが、リーマン面のモジュライ空間であるタイヒュミラー空間の高次元版と考えて、共形的に平坦な構造のモジュライ空間に完備な距離を導入するという画期的な研究に成功した。 今井は、自身が開発した結び目のエネルギー汎関数のグラジエントを計算し、さらに研究を進展させている。 吉田・今野は、ゲージ理論的方法を用いて、symplectic幾何学、位相的場の理論などに大きな貢献をしている。特に、擬正則曲線のモジュライ空間の理論は、調和写像論およびその応用の立場から興味ある研究課題を提供するものである。 長友氏は、四元数ケーラー多様体上のヤン・ミルズ接続のゲージ理論で新しい展開を与えている。

結晶格子,つまり周期的な無限グラフ,のユークリッド空間へのエネルギー最小の調和写像を研究し,それを用いて結晶格子上のランダムウォークの推移確率の時間無限での漸近挙動を決定した. 代数幾何学で用いられるアルバネーゼ写像はコンパクト多様体から平坦卜ーラスヘの調和写像として拡張されている.コンパクト多様体のアーベル被覆となるような非コンパクト多様体の熱核の時間無限での挙動を記述するのに,アルバネーゼ写像が有益であることを観察し,局所中心極限定理や漸近展開に関する精密な結果を得た. また,その離散版である有限グラフから平坦卜ーラスヘのアルバネーゼ写像を定義するために,重み付きグラフから多様体への調和写像の概念を定義し,その結果を用いて結晶格子上のランダムウォークの推移確率の時間無限での漸近挙動がグラフの幾何的な量で記述した.また,アルバネーゼ写像が写像のホモトピー類のなかでのエネルギー最小写像であるという特徴付けをおこない,与えられた隣接関係を満足するグラフのユークリッド空間内の標準的な実現を構成し,また結晶構造の対称性に関する考察を与えた. 一方で,負曲率閉多様体のホモロジー類を指定した素測地線定理の漸近項に現われる係数がホモロジー類にどのように依存するかを調べ,コンパクト多様体のアノソフ微分同相の力学系の高次相関関数を定義し,それが指数減衰であることを示した.さらに,圧力の高階微分と全相関が等しいことを示した.

本研究の目的は,調和写像の無限遠境界値問題を一般の負曲率等質リーマン多様体に対して研究することである.このような空間の中で,カルノー群とよばれる巾零リー群の1次元可解拡大として得られる「カルノー空間」は,対称空間の一般化として重要なカテゴリーをなす.本研究の目標は,このカルノー空間のカテゴリーにおいて,理想境界として現れる巾零リー群上の幾何学・解析学と,内部領域として現れる可解リー群上の幾何学・解析学の相互関係を,「調和写像の無限遠境界値問題」を通して調べることであり,そのためにはまず,解として得られる調和写像の無限遠理想境界の近傍での正則性(微分可能性)を詳しく調べる必要がある. 昨年度の研究において,研究分担者・上野は,「複素双曲型空間形から実双曲型空間形への固有な調和写像で,無限遠境界まで連続的可能性をもって延びるものは存在しない」ことを証明したが,その際調和写像の無限遠境界での正則性は,カルノー空間の不変計量の無限遠境界の近傍での発散のオーダーと密接に関係することが明らかになった.今年度は,この点に関してさらに考察し,次の結果を得た. 1.定義域のカルノー空間のステップ数が,値域となるカルノー空間のステップ数よりも小さい場合(例えば,複素双曲型空間形から実双曲型空間形への場合),無限遠境界の近傍での不変計量の発散のオーダーが同じであっても,固有な調和写像の無限遠境界の近傍での漸近挙動は,その境界値から完全には決定できない. 2.定義域のカルノー空間のステップ数が,値域となるカルノー空間のステップ数よりも大きいか等しく,かつ無限遠境界の近傍での不変計量の発散のオーダーが同じである場合には,固有な調和写像の無限遠境界の近傍での漸近挙動は,その境界値から完全に決定される. 西川はこの結果を,上海で開催された国際研究集「International Conference on Modern Mathematics」において,招待講演として発表した.

研究代表者・納谷信と井関裕靖は,組合せ調和写像とその超剛性・固定点定理への応用の研究を行い,CAT(0)空間への離散群の等長的作用に対する固定点定理を得た.納谷信と鎌田博行は,四元数CR幾何の研究を行い,標準的な擬エルミート接続の表現論的意味を明らかにした. 江尻典雄は,2g次元平坦トーラスの種数gの面積最小でない安定極小曲面の存在問題について研究を行い,ある8次元トーラスに種数4以上の非正則,安定極小曲面が存在することを証明した. 小林亮一は,Nevanlinna理論の離散化としてのDiophantine approximationの幾何学的理論の構築について研究を行い,射影的代数多様体への正則曲線に対する対数微分の補題がいつも同じ形で成り立つことを示した. 中西敏浩は,境界つきコンパクト曲面群からSL(2,C)への忠実かつ境界成分のホモトピー類が放物元に写されるような表現の同値類全体の空間に,R.C.Pennerのλ長を複素化したパラメータを導入し,写像類群を有理変換のなす群として表現することに成功した. 小谷元子は,結晶格子,すなわちアーベル群の作用する無限グラフ上のランダム・ウォークの大偏差とその幾何的意味付けについて研究し,漸近項を求めるとともに,減衰オーダーを表すレート関数と,結晶格子の無限遠での接錐の関係を明らかにした. 太田啓史は,単純特異点および単純楕円型特異点のリンクのシンプレクティックフィリングの変形類を完全に決定した.また,フィルター付きA_∞代数を用いたフレアーコホモロジーの障害理論と変形理論を研究した. 佐藤猛は,様々なモジュラ関数を用いて,円周率πの値を計算する新しいアルゴリズムをいくつか得た. 鎌田博行は,スカラー平坦不定値Kahler計量を許容するコンパクト複素曲面の研究を行い,ある種の対称性をもつスカラー平坦不定値Kahler計量の存在によって複素射影直線の直積を特徴づけることができた. 糸健太郎は,曲面群と同型なクライン群(擬フックス群)の変形空間の境界挙動を,曲面上の射影構造のホロノミー表現を通して研究し,ある種の連続性と離散性を示すことにより,Goldman's grafting theoremが境界群でも成り立つこと(Bromberg's conjecture)を示した.

本研究の目的は,負曲率空間に作用する離散群の剛性・安定性を,負曲率空間の理想境界の幾何学および離散群のコホモロジーに注目して考察することであった.本年度は,この目的に沿って以下のような成果が得られた. Γをn次元球面に作用するクライン群とする.Γが凸ココンパクトならばその不連続領域の商空間はコンパクトであるが,その逆は一般には正しくない.しかし,極限集合が小さければこの逆が成立することが予想されていた.井関裕靖(研究代表者)は,この予想に対して,極限集合のハウスドルフ次元がn/2未満である場合に肯定的な解答を与えた(論文は投稿中).極限集合のハウスドルフ次元がn/2の場合には反例があるので,これは最良の評価である.この結果から,同じ仮定を満たすクライン群は構造安定であることがわかる.さらに,その応用として,正スカラー曲率をもつ共形平坦多様体の幾何学的,位相的性質についていくつかの結果を得た. 砂田利一は,離散群の作用するグラフに対する離散幾何解析の基礎付けとその応用について研究した. 中川泰宏は,板東・Calabi・二木指標が代数多様体の半安定性に対する障害になっていることを示した. 芥川和雄は,境界付き多様体に対し,相対山辺不変量を定義し,共形幾何的コボルティズム理論の足がかりを与えた(論文は投稿中). 納谷信は,離散群の研究への応用を念頭に置き,複素および四元数双曲空間の理想境界の幾何構造の微分幾何学的な定式化を与えた(論文は準備中).

本研究の目的は,負曲率空間に作用する離散群のある種の剛性を,負曲率空間の理想境界の幾何学および離散群のコホモロジーに注目して考察することであった.この目的に沿って以下のような成果が得られた. Γをn次元球面に作用するクライン群とする.Γが凸ココンパクトならばその不連続領域の商空間はコンパクトであるが,その逆は一般には正しくない.しかし,極限集合が小さければこの逆が成立することが予想されていた.井関裕靖(研究代表者)は,この予想に対して,極限集合のハウスドルフ次元がn/2未満である場合に肯定的な解答を与えた.その応用として,正スカラー曲率をもつ共形平坦多様体の構造について,幾つかの結果を得た.さらに,ある種の作用素代数に係数をもつクライン群のコホモロジーについて考察した. また,離散群の剛性と非正曲率空問の幾何の関連について,井関裕靖と納谷信は,単体複体からリーマン多様体への調和写像の概念,およびある種の積分公式を定式化し,p進リー群の格子に対し,マルグリスの超剛性の一般化を行った.さらに,この手法を,単体複体から非正曲率距離空間への調和写像に対しても拡張した.それにより,比較的特異性の弱い非正曲率空間へのp進リー群の格子の作用に対する固定点定理を得た.p進リー群の格子以外にも,この手法が適用可能な離散群の例は多く,我々が確立した手法は,離散群の作用の剛性現象に対する理解を深めるのに役立つと考えている.

平成12年度の研究実績は以下の通りである. 結晶格子上のランダム・ウォークの推移確率の時間無限大での漸近挙動の解析をし,特に極限に現われるユークリッド構造を,結晶格子を調和写像によってユークリッド空間に標準的実現するときに定まるユークリッド計量として特徴付けた. この研究の拡張として,結晶格子に磁場がかかった場合の粒子の運動の時間無限大での漸近挙動を研究した.グラフは1次元なので「磁場」の定義自体が自明ではないが,結晶格子に作用するアーベル群の2次コホモロジーを磁束と読み替え,対応するグラフの弱不変1-コホモロジーをベクトル・ポテンシャルとみることで,磁場の中を動く粒子の運動を記述する磁場付き推移作用素を定義した.更に上記の結果と同様,ある条件のもとに,与えられた磁場に対応するベクトル・ポテンシャルは,適当なユークリッド空間上の線形ベクトル・ポテンシャルを標準的実現によって引き戻したものになることをみた.これにより磁場付き推移作用素の中心極限定理を得た. また,負曲率閉多様体上の閉測地線の分布は本質的に基本群の構造を調べることになるが,前述の仕事の過程で開発した手法により,長さがx以下の閉測地線の個数のxが無限大に近づくときの漸近挙動と,力学系で重要な圧力との関連を明らかにし,漸近展開項にあらわれる係数を記述するために高次相関関数の概念を定義した.更に通常の相関関数が指数減衰をもつことと,対応する力学系の混合の早さには密接な関係があるが,上記の問題に派生して高次相関関数の指数減衰性を調べ,アノソフ微分同相の場合と,ある種の条件を満たすアノソフ流に関して高次相関関数の指数減衰性を示した.

次元双曲軌道体(orbifold)のタイヒミュラー空間の計量的性質の研究と関連する不連続群および軌道体の研究を行った。研究方法は軌道体上のいくつかの曲線の測地的弧長をパラメータに採用することによって得られるタイヒミュラー空間の実代数表現を用いて、その幾何構造を調べようとするものであった。この研究についての成果には以下のようなものがある。 1. 錐点とpunctureをもつ双曲面のタイヒミュラー空間の実代数表現を錘点やホロサイクル間の距離によって具体的に記述する公式を与えた。そしてこうして得られたタイヒミュラー空間の具体的な表現をタイヒミュラー空間の大域座標を与えるパラメータの最小数問題、写像類群の表現、およびリーマン面の正則族の具体例を求める問題に応用した。 2. 2次元双曲錘多様体のunderlying surfaceの上に適当にこ選んだ閉曲線の測地的弧長関数は錘多様体のタイヒミュラー空間の大域座標系をあたえる。この座標系を用いたWeil-Petersson形式のモジュライ空間上の積分は疑似楕円積分となる。このことから4つの錐点をもつ球面および1つの錘点を持つトーラスのモジュライ空間の体積を計算した。 3. 他の成果としてはタイヒミュラー空間を表現する代数方程式の整数解を求めることによって(O;e_1,e_2,e_3,e_4)形のnon cocompactな数論的フックス群をすべて分類した。

研究代表者・納谷信は,階数1対称空間の離散変換群の無限遠境界への作用を考え,その不連続領域上に定義される群作用で不変な標準的計量の研究を行なった.とくに,対称空間が複素双曲空間の場合に,商多様体のコホモロジー群の消滅について研究をすすめるとともに,CR構造,擬エルミート構造,田中-Webster接続の四元数的類似を定式化し,対称空間が四元数双曲空間の場合の標準的計量の研究に応用した.また,階数2以上の対称空間の場合への一般化に向けて,Furstenberg境界上の幾何構造について考察し,若干の知見を得た. 研究分担者・芥川和雄は,双曲型空間からある非完備な負曲率リーマン多様体への調和写像の研究を行った.とくに,その無限遠境界値問題の解の存在・一意性・正則性に関する結果を得た。また,リーマン多様体の間の極小写像に関して基礎的研究を行い,双曲円板の間の極小微分同相写像について,その存在・表現に関する結果を得た. 井関裕靖は,球面の領域をKlein群の作用で割って得られる共形平坦多様体上の平坦Hilbert空間束のコホモロジーに対する消滅定理を証明し,Klein群の極限集合のHausdorff次元の研究への応用を与えた. 中川泰宏は,Einstein-Kahler計量の存在に対する障害である二木指標を一般化した板東-Calabi-二木指標について考察した.二木指標については,これをGodbillon-Vay不変量として解釈するという二木-森田の結果が知られているが,この結果を板東-Calabi-二木指標の場合に拡張した. 西川青季は,上野慶介氏(山形大学)と共同で,負曲率等質多様体間の調和写像の無限遠境界値問題に関して研究を行った.とくに,対称空間でない負曲率等質多様体の典型的例を与えるCarnot空間の間の調和写像の無限遠境界値問題に対して,境界値がみたすべき必要条件,解の一意性,および適切な必要条件をみたす境界値に対する解の存在を証明した. 板東重稔は,ケーラー多様体や複素正則ベクトル束におけるアインシュタイン計量の存在問題,および安定性・退化現象との関連を研究した.また,安定性が成り立たないときにに発生する退化現象の極限として出現する特異幾何構造の研究も行った.

研究代表者・納谷信は、研究分担者・井関裕靖と共同で、組合せ調和写像の超剛性・固定点定理への応用について研究を行った。昨年度、単体複体からCAT(0)空間への離散群作用について同変な写像が,エネルギー汎関数の勾配流に沿って定値写像に収束するための十分条件を与え、一般的な固定点定理を得ていた。Takhtajan-Teoにより、普遍タイヒミュラー空間の連結成分が非正曲率ヒルベルト多様体の構造をもつことが示されており、したがってCAT(0)空間になる。この連結成分に昨年度証明した固定点定理を適用することにより、あるクラスの離散群のS^1の微分同相群への表現の像が有限群になるという事実の調和写像の方法による別証明を与えた。また、昨年度までに導入していたCAT(0)空間の幾何学的不変量が、空間の超極限をとった際にどのように振る舞うかを明らかにした。 金井雅彦は、葉層化多様体の接コホモロジーの消滅について研究を行い,応用として、階数γ【greater than or equal】2の半単純リー群の一様格子から標準的な仕方で構成されるR^γのアノソフ作用の無限小剛性を証明した。

前年度に引き続き当科学研究課題の目標は、多様体上の群C^*環バンドルのスピンc解析と山辺不変量の研究であった。具体的研究成果は、下記の通りである。 研究分担者間で定期的にセミナー・研究会を行い、C^*環およびそのK理論の基礎的研究を行った。また山辺不変量とスーパー群付きボルディズム理論(スーパー群、多様体上のスーパー群構造、スーパー群C^*環バンドル等)の総合的研究も行った。この研究成果は次の論文にまとめており、投稿予定である。 ・Kazuo Akutagawa,An obstruction to the positivity of relative Yamabe invariants,preprint. また、代数トポロジーの立場から山辺不変量を研究しているBoris Botvinnik教授(オレゴン大学)を招聘および芥川がオレゴン大学へ訪問し、本研究テーマについて研究連絡を行った。特にホモロジー理論と同様に、山辺不変量の相対化の研究が必須かつ有用であることか認識出来た。Botvinnik教授との共同研究の成果は次の論文にまとめており、現在投稿中である。 ・Kazuo Akutagawa and Boris Botvinnik,Relative Yamabe invariant,preprint. ・Kazuo Akutagawa and Boris Botvinnik,Manifolds of positive scalar curvature and conformal cobordism theory,preprint. 上記の研究において、研究費補助金による研究連絡および国内・外の研究者の招聘は極めて重要であった。

多様体上の平坦な共形構造の空間を調べるのがこの研究の目的であった。多様体がコンパクトであれば、この空間上にはTeichmuller距離を高次元に拡張したものが定義でき、これが完備になることは以前に証明している.この距離の挙動を調べるのが第一の目標であったわけだが、そのためには、平坦な共形構造の空間(Teichmuller空間)をいくらかでも扱いやすい空間の部分集合として実現できれば非常に良い.このことについて、コンパクトなn次元多様体Mの基本群のコホモロジー次元がnより小さく、かつ展開写像が単射的であるような平坦な共形構造を許容する場合に結果を得た:この様な条件を満たすMのTeichmuller空間をある同値関係で割って得られる空間のある連結成分は、Mの基本群のSO(n+1,1)への表現空間に埋め込むことができ、その像はconvex cocompactなKlein群のなす集合の連結成分になっている.この埋め込みにより、Mの平坦な共形構造に、対応するKlein群の臨界指数を対応させる写像が定義できる。この写像は、Teichmuller空間上の汎関数であり、前述のTeichmuller距離に関して一様連続になっている.Klein群の臨界指数は対応する平坦な共形構造のある代表元のスカラー曲率と密接な関連があることが知られているので、これは、Teichmuller距離に関して、曲率に関連した汎関数が非常に良い挙動をすることを意味している。このことの直接の帰結として、convex cocompactなKlein群の擬等角安定性と極限集合のHausdorff次元がKlein群の変形に対して連続に動くことがわかる. 上述の汎関数の極値をとる共形構造は一般には退化しているが、その退化の様子も含めて多様体の位相構造についての多くの情報を持っていることが期待される.発表された論文“Limit sets of Kleinian groups and conformally flat Riemannian manifolds"には、退化せずに極値をとる共形構造について、Klein群の視点から論じてある。

準備中の論文"The Teichmuller distance on the space of flat conformal structures"において、コンパクト多様体上の平坦な共形構造の空間(正確には、平坦な共形構造のTeichmuller空間)に擬等角写像を用いて自然に定義される擬距離が、完備な距離(以下Teichmuller距離と呼ぶ)になっていることを示した。この距離は、古典的な、Riemann面のTeichmuller空間上のTeichmuller距離の高次元化になっており、コンパクト多様体上の平坦な共形構造のTeichmuller空間の構造を定量的に調べるための有効な手段になることが期待される。 一方で、ある条件を満たす、コンパクトで共形的に平坦な多様体のTeichmuller空間のある連結成分は、Klein群の変形空間に埋め込めることも証明できた。これを通して、共形的に平坦な多様体の連結和に関する素分解とそれによる平坦な共形構造の変形をKlein群の自由積への分解と対応させることができる。また、この場合には、共形的に平坦な多様体の曲率と密接な関連を持つKlein群の臨界指数が、上述のTeichmuller距離に関して良い挙動を示すことも確かめられた。さらに、投稿中の論文"Limit sets of Klinian groups and conformally flat Riemannian manifolds"において、ある種のKlein群の剛性に関する予想が肯定的に解決された。このことの応用として、リッチ曲率が負であるような共形的に平坦な計量を許容しない3次元Klein多様体を分類することができた。