共同研究・競争的資金等の研究課題

トロピカル数学とは，通常の数学における「掛け算と足し算」を，「足し算とmax演算」に置き換えて作られる数学のことである．21世紀に入って，トロピカル数学の考え方を利用することで，これまでとは全く違う方法によって，数学応用上興味深い問題を証明できることが明らかになってきた．本研究では，この新しいトロピカル数学を，「可積分系」と呼ばれる古くから研究されている微分方程式の理論と組み合わせることで，「ヤング盤の組み合わせ論」という数学上の問題の解決に取り組む． 本研究の目標は、「可積分系方程式の技法を用いてYoung盤を研究する」と一言で言い表される。可積分系方程式とは、``初期値問題の解が具体的に記述できる''、``保存量（エネルギー・運動量のようなもの）を十分な個数持つ''、などの特徴を持つ微分方程式の総称であり、解空間の構造を調べる・方程式の離散化を考察するなどすることで、興味深い数理構造を見つけることができる特徴がある。一方Young盤とは、表現論・組み合わせ論・対称多項式の理論などと関わりをもつ図形のことで、非常に応用が広い。 この方面の既知の結果として「戸田方程式（可積分系の一つ）の理論を利用して整化の一意性定理（組み合わせ論の定理）の証明を与える」という結果がある。この結果を深化・一般化することを本研究の目標とする。 今年度の研究で対象としたのは、旗多様体のK理論に対応する対称多項式``グロタンディーク多項式''である。これを組み合わせ論の立場から見ると、Young盤の一般化である``集合値Young盤''を考えることにあたる。論文「Grothendieck polynomials and the Boson-Fermion correspondence」において、数理物理の研究手段である「自由フェルミオン」を用いて、グロタンディーク多項式の明示公式を与えることに成功した。自由フェルミオンとは可積分系の厳密解を記述するときにも用いられる非可換な作用素であり、これをもって集合値Young盤の理論を可積分系理論に一歩引き寄せたとみることができよう。本結果は当初の目的の達成のための重要な一歩であると考えている。 K理論的Young盤を記述するのに必要と考えられる``グロタンディーク多項式''の研究において以下の成果が得られたため。 ・グロタンディーク多項式の自由フェルミオン表示を与えた（論文「Grothendieck polynomials and the Boson-Fermion correspondence」）。 ・より一般的な対称多項式（マルチ・シューア関数）についても同様の結果を証明した。 今年度の研究成果は主に対称多項式の代数的性質に注目したものであったが、本研究の主目的を達成するには組み合わせ論的性質の考察も欠かせない。これについては近年、物理数理を研究する研究者たちにより考察された「可解格子模型」の理論が有効であると考えている。私の結果と、彼らの結果を組み合わせることで、新たな成果が得られると期待している。

A 型ルート系については， K 理論的ピーターソン同型が，ごく最近になって，明示的な形で確立された．アフィン側のシューベルト類を表す closed K-k-Schur functions の明示公式も示すことができた．この結果を利用して，シュバレー規則の帰結や，アフィン側のピエリ規則による量子側への帰結などを詳しく検討することができる． C 型の場合， Seelinger によって， アフィングラスマン多様体の homology シューベルト類に対する明示公式が予想されている．この予想を，K 理論に拡張した形で解決し，そこから導き出されることを探求する．

トロピカル曲線の理論と超離散可積分系数学の関係に関して研究を行った。トロピカル曲線とは、区分的に線型な関数を用いて定義される幾何学的対象で、具体的には距離グラフとして実現される。一方、超離散可積分系とは、偏微分方程式に「超離散化」と呼ばれる特殊な極限操作を施して得られる、「区分的に線型な」微分方程式のことである。 本課題では、周期境界条件を課した種々の超離散可積分系に対して、トロピカル曲線を用いた初期値問題の解法を構成した。

本研究において、特異なトロピカル曲線と、対応する超離散可積分系をしらべた。 通常の可積分系の理論において、滑らかな曲線に対応するテータ関数を用いて得られる解を、準周期解と呼ぶ。ここで、元の曲線代わりに特異な曲線を用いると、その特異性の大きさに応じて、ソリトン解、多項式解、と、より特殊な解を得られる。 以上の理論は、超離散可積分系においても、同様に成り立つと考えられる。実際、超離散KdV方程式・超離散戸田方程式・超離散KP方程式などの準周期解は、トロピカル曲線に付随するトロピカルテータ関数を用いて記述で出来ることが知られている。本研究では、超離散可積分系のソリトン解、多項式解を、トロピカル幾何の文脈で解くことを行った。 この際、現れるトロピカル曲線は何らかの意味で「特異」なものになると期待されるが、純粋なトロピカル幾何学で知られている「特異トロピカル曲線」の定義では、上記の目標を達することは出来ない。 本研究では可積分系の手法によって、新たな特異トロピカル曲線の定義を独自に導出した。具体的な手順は以下の通り:1.離散可積分系の「Lax方程式」を用いて、代数曲線の定義多項式を求める。この時、周期境界条件を課すと滑らかな曲線を得られることは古くから知られているが、周期境界条件を緩めることで、特異曲線があらわれるようにすることができる。2.得られた特異曲線を超離散化する。 超離散可積分系への自然な応用が存在するという理由から、私はこちらの「特異トロピカル曲線」の定義のほうがより正当であると信じる。

近年研究され始めたトロピカル幾何学と、古典的に知られている複素多様体の間の関係を調べるのが本研究の目的である。特に、トロピカル曲線上のトロピカル積分理論と、複素曲線(Riemann面)上のAbel積分の理論の間の対応を研究した。成果として、Riemann面の1パラメータ族上のAbel積分の超極限が、あるトロピカル曲線上のトロピカル積分を用いて簡単に表現できることを証明した。一般に、Riemann面上のAbel積分を計算することは容易ではないが、トロピカル曲線上の積分を計算するのは非常に容易である。この定理は、Abel積分に関する様々な問題に応用できるものと期待する。 応用の一つとして、超離散可積分系の初期値問題の解法が挙げられる。超離散可積分系とは、離散可積分系という名で知られている「解ける方程式」に、特殊な極限操作(超離散化)を施して得られる方程式である。超離散可積分系は、トロピカルsemifield上の漸化式の形をしており、その初期値問題の解法に、トロピカル曲線の理論が登場する。本研究では、超離散可積分方程式の中でも最も一般的な周期的超離散KP方程式を扱った。この方面での主な成果は以下である:1)離散KP方程式に超離散化を施し、超離散KP方程式を導出した。超離散KP方程式は、2次元箱玉系とも呼ばれる。2)周期的超離散KP方程式の初期値問題を解いた。解法の要点は、(古典的に知られている)「離散KP方程式と複素曲線の関係」を超離散化し、「超離散KP方程式とトロピカル曲線の関係」という構図を導くことにある。ここに前述の定理を用いたのである。

戸田格子の解の超離散化に必要な，解の表示の正値性について集中的に研究を行った．Lax表示された戸田格子の方程式と解の離散化について，基礎的な理論に対する理解を深めるとともに，その結果を「特異曲線を用いた有限戸田格子の正値性の代数幾何学的特徴付けについて」として，現在論文にまとめている．一方，戸田格子のLax表示と旗多様体の量子コホモロジー環およびそのK理論への一般化，とくにPeterson同型に関する研究を継続中である．シューベルト多項式，グロータンディク多項式などの計算・その行列式表示に関しても多くの部分的結果を得ているので，まとめて，何らかの形で成果として発表したい．

トロピカル幾何学とは，通常の掛け算と足し算(×と＋)の代わりに，足し算と「大きい数をとる演算」(＋とmax)を採用した幾何学のことである．トロピカル幾何学は，可積分系方程式と呼ばれる特殊な微分方程式の構造の研究と相性が良いことが知られており，両者の関係の本質的な意味を調べることが本研究の主眼である．本研究において得られた成果は主に以下の2つである．１．相対論的戸田方程式の初期値問題の解法を利用して，「旗多様体の量子K理論」と特殊対称多項式の関係を明らかにした．２．超離散(トロピカル)KP方程式の代数的解法を用いて，組み合わせ論定理への応用を与えた．