Research projects

This study develops a new framework that bridges classical integrable systems, a class of differential equations, with the modern geometric technique of “quantum K-theory.” Quantum K-theory extends the cohomology theory of geometry into an algebraic toolkit for computing the structure of shapes (topology). Focusing on the flag variety, a geometric object of key importance in mathematical physics, we investigate its quantum K-theory. As a result, we identify that the classical integrable system corresponding to the quantum K-theory of the flag variety is the relativistic Toda equation.

A 型ルート系については， K 理論的ピーターソン同型が，ごく最近になって，明示的な形で確立された．アフィン側のシューベルト類を表す closed K-k-Schur functions の明示公式も示すことができた．この結果を利用して，シュバレー規則の帰結や，アフィン側のピエリ規則による量子側への帰結などを詳しく検討することができる． C 型の場合， Seelinger によって， アフィングラスマン多様体の homology シューベルト類に対する明示公式が予想されている．この予想を，K 理論に拡張した形で解決し，そこから導き出されることを探求する．

I studied the relation between the tropical mathematics and the ultradiscrete integrable systems. Tropical curves are geometrical objects defined by the use of piece-wise linear functions, which are realized as metric graphs. On the other hand, ultradiscrete integrable systems are "piece-wise linear differential equations" obtained from various integrale systems through the "ultradiscretization", which is some special limiting procedure. In this study, I constructed the method for the initial value problems of various periodic ultradiscrete integrable systems.

本研究において、特異なトロピカル曲線と、対応する超離散可積分系をしらべた。 通常の可積分系の理論において、滑らかな曲線に対応するテータ関数を用いて得られる解を、準周期解と呼ぶ。ここで、元の曲線代わりに特異な曲線を用いると、その特異性の大きさに応じて、ソリトン解、多項式解、と、より特殊な解を得られる。 以上の理論は、超離散可積分系においても、同様に成り立つと考えられる。実際、超離散KdV方程式・超離散戸田方程式・超離散KP方程式などの準周期解は、トロピカル曲線に付随するトロピカルテータ関数を用いて記述で出来ることが知られている。本研究では、超離散可積分系のソリトン解、多項式解を、トロピカル幾何の文脈で解くことを行った。 この際、現れるトロピカル曲線は何らかの意味で「特異」なものになると期待されるが、純粋なトロピカル幾何学で知られている「特異トロピカル曲線」の定義では、上記の目標を達することは出来ない。 本研究では可積分系の手法によって、新たな特異トロピカル曲線の定義を独自に導出した。具体的な手順は以下の通り:1.離散可積分系の「Lax方程式」を用いて、代数曲線の定義多項式を求める。この時、周期境界条件を課すと滑らかな曲線を得られることは古くから知られているが、周期境界条件を緩めることで、特異曲線があらわれるようにすることができる。2.得られた特異曲線を超離散化する。 超離散可積分系への自然な応用が存在するという理由から、私はこちらの「特異トロピカル曲線」の定義のほうがより正当であると信じる。

近年研究され始めたトロピカル幾何学と、古典的に知られている複素多様体の間の関係を調べるのが本研究の目的である。特に、トロピカル曲線上のトロピカル積分理論と、複素曲線(Riemann面)上のAbel積分の理論の間の対応を研究した。成果として、Riemann面の1パラメータ族上のAbel積分の超極限が、あるトロピカル曲線上のトロピカル積分を用いて簡単に表現できることを証明した。一般に、Riemann面上のAbel積分を計算することは容易ではないが、トロピカル曲線上の積分を計算するのは非常に容易である。この定理は、Abel積分に関する様々な問題に応用できるものと期待する。 応用の一つとして、超離散可積分系の初期値問題の解法が挙げられる。超離散可積分系とは、離散可積分系という名で知られている「解ける方程式」に、特殊な極限操作(超離散化)を施して得られる方程式である。超離散可積分系は、トロピカルsemifield上の漸化式の形をしており、その初期値問題の解法に、トロピカル曲線の理論が登場する。本研究では、超離散可積分方程式の中でも最も一般的な周期的超離散KP方程式を扱った。この方面での主な成果は以下である:1)離散KP方程式に超離散化を施し、超離散KP方程式を導出した。超離散KP方程式は、2次元箱玉系とも呼ばれる。2)周期的超離散KP方程式の初期値問題を解いた。解法の要点は、(古典的に知られている)「離散KP方程式と複素曲線の関係」を超離散化し、「超離散KP方程式とトロピカル曲線の関係」という構図を導くことにある。ここに前述の定理を用いたのである。

We studies the methods of (ultra-)discretization of Toda lattice through the Lax formalism. There are so many researches in this field, but our emphasis is on the totally nonnegative matrices and algebro-geometric tools, such as singular (nodal) rational curves and Jacobian varieties. Thus our main result is proving the Lax matrices of Toda lattice which is totally nonnegative give the totally positive part of the Jacobian variety, which is summarized into the paper: Geometric interpretation of the totally nonnegative part of the finite Toda lattice via a singular rational curve. The paper is now being prepared. We also studied on the quantum cohomology on the flag varieties and Peterson isomorphism. In this direction, we obtained various explicit formulas of Schubert polynomials and/or Grothendieck polynomials, especially their determinantal expressions. However, the results are somewhat rambling and it seems it will take some more time to organize them in a nice way.

The tropical geometry is a kind of geometry where the usual multiplication and addition are replaced with the addition and maximum. Since it has been known that the tropical geometry admits good applications to the study of integrable system theory, the main aim of this research is to study their essential relations. The main results of this research are as follows: 1. The relation between the "quantum K-theory" of the flag variety and some special symmetric polynomials are clarified by using the algebraic method to the relativistic Toda equation. 2. The application of the tropical KP equation to various combinatoric problems of Young tableau is obtained.