研究発表

不完全コレスキー分解のfill-inの棄却法には様々なものがある． メモリや計算量を考えると，fill-inの棄却を多くし，前処理行列の非ゼロ要素数は少ない方が良いが，元の行列と大きく異なると，前処理行列として機能しなくなる．よって，前処理行列として機能しつつ，非ゼロ要素数が少ないものを求めることが必要である．本稿では，修正不完全コレスキー分解による前処理行列と同程度の収束性を持ちながら，非ゼロ要素数が少ない前処理行列を作るマルチパラメータ修正不完全コレスキー分解を提案し，数値実験により有効性を示す．

近年，Block Gram-Schmidt法に関連する様々な研究が行われており，Stewartや松尾らは，行列を列ごとに分割するblock化を用いることにより，1回のかけ算の演算にかかる時間が短くなることを示した．さらに，block-sizeによりQR分解にかかる計算時間は異なるが，Stewartはmを経験的に決定する算法を提案した．最適なblock-sizeを見つけるためには，複数回プログラムを実行し決める必要があるが，これは非効率である．これを改善するために，Matsuo らは，演算量の増加量を予測して，block-sizeを自動的に決定する手法を提案した．またSilvaは，block Gram-Schmidt法に関して，修正Gram-Schmidt法とHouseholder変換との演算量の比較を行っている． Vanderstraeten は，block Gram-Schmidt法の並列化を考案し，その算法の有効性を示した．

We have proposed an adaptive procedure for determining the optimal block-size for the Block Gram-Schmidt orthogonalization, which is a process for computing the QR factorization of matrix X. Accurate block-size is different for each numerous problem. In this paper, we have explored two new schemes for searching and finding accurate block-size under one execution of the QR factorization. Some numerical experiments will be used to illustrate the effectiveness of the proposed algorithm.

We will discuss regularization methods for stability of solutions of linear discrete ill-posed problems. A solution becomes unstable if a model equation is incomplete because of unknown rule dominating a phenomenon, available data includes measurement error, or both of them. Truncation error from discretisation also makes the solution unstable. For each factors, there are some remedies such as a modification of the model, statistical methods for distribution of measurement error. In this paper, we will focus on the GMRES method, one of the most popular Krylov subspace methods, as the regularization method for linear discrete ill-posed problems and discuss to make them well-posed by using constraints with values appearing in GMRES iterations.