研究発表

Using a suitable linear recurrence of positive integers, we construct a certain function of three complex variables which are invariant under the action of the dihedral group on its domain of de nition. For such a function, we consider the map de ned on the set of orbits of the action of the dihedral group and its restriction to the set of orbits represented by algebraic points. Then we show that the restriction takes algebraically independent values at any distinct orbits represented by algebraic points.

Mahler関数の定義から出発し, 値の代数的独立性の判定定理については, 複素数体上での最新結果および p進数体上と正標数の関数体上での結果も述べた.

有限個の素数pに対する p進数体と、実数体の共通部分と見做すことができるような超越数からなる無限集合であって、有理数体上代数的独立となるものの実例を、Mahler関数の特殊値として構成できることについて講演した。

多項式でない冪級数であって、係数0が連続する部分の長さが無限大に発散するものを空隙級数とよぶ。空隙級数の複数の代数的数における値の間に生じ得る、代数的数係数の既約な多項式で表される関係式（代数的従属の関係式）は１次式に限られる。これは西岡等による先行研究により証明された。その中では、上述のような１次式となる関係式が成立するのは、係数0が連続する部分の長さの増大度が大きい場合は、比が１の冪根である代数的数における値の間に限られる、という定理が述べられている。その系として次のことが分かる。k!+k 次の項の係数のみが1で他の次数の係数は0である空隙級数は、単位円内の0以外の相異なる代数的数における値がすべて代数的独立となる。その理由は、k!+k が任意の正整数 N を法とする任意の剰余類に無限個分布することから、比が1の N乗根である代数的数における値の間には１次式で表される関係式さえも存在せず、従って、代数的数における値の間にいかなる代数的従属の関係式も存在しなくなるからである。 一方、Loxton-van der Poortenによる先行研究では、固定された整数 d≧2 に対する d^k 次の項の係数のみが1である空隙級数に対しては、代数的従属の関係式は１次式に限られるものの、それらが必ずしも比が１の冪根ではない代数的数における値の間でも成立することが示されている。 本講演では次の結果を解説する： d^k+k 次の項の係数のみが1で他の次数の係数は0である空隙級数は、単位円内の0以外の相異なる代数的数における値がすべて代数的独立となる、という k!+k の場合と同じ性質を有する。数列 d^k の構造が k! と比べて単純であることから、今回の結果の証明には k!+k の場合の証明とは本質的に異なる、降下法を用いた。

In the previous work the speaker constructed a function of two variables taking algebraically independent values at any distinct points belonging to the cartesian product of the set of nonzero algebraic numbers and that of nonzero algebraic numbers inside the unit circle. In this talk the speaker introduces a balanced analogue of the two-variable function stated above, which is defined on a wider domain, the cartesian product of the set of complex numbers and that of complex numbers except the unit circle. The balanced function can also be regarded as a map defined on the set of orbits of the action of Klein four-group on the domain of definition of the balanced function and the latter map takes algebraically independent values at any distinct orbits represented by algebraic points.

先行研究において講演者は、0以外の代数的数全体と単位円内の0でない代数的数全体の直積集合に属する任意の相異なる点における値がすべて代数的独立となる２変数関数を構成した。 本講演では、上記の２変数関数にある種のバランス化を施し、定義域を複素数全体と単位円周を除く複素数全体の直積集合に拡張した関数を紹介する。この関数は定義域に対するクラインの４元群の作用に関する軌道全体の集合上で定義された写像とも見做すことができ、この写像は代数点に代表される任意の相異なる軌道における値がすべて代数的独立となる。