論文

空間１次元の浅水モデルに対する境界層解の存在と時間漸近安定性について考察した。本論文では、遠方場の平衡状態における亜音速条件下で、流出が一定流束の境界条件を満たす境界層解の１パラメータ族が存在することを証明した。また、与えられた初期データに対して、一意の時間漸近境界層プロファイルが存在することも示した。更に、初期摂動が十分に小さいという条件の下で、その安定性も示した。

本論文の前半では、局所化された項を含む 1 次元退化双曲型系の初期境界値問題を考察し、重み付きソボレフ空間におけるその適切性を示した。この問題は、吊り下げられた伸びない紐の運動に関する初期境界値問題の適切性の解析に動機づけられての研究である。本論文の後半では、吊り下げられた伸びない紐の運動に対する線形化問題についても考察し、その初期境界値問題の適切性を、前半で得られた結果の応用として証明した。

実数直線上の 1 次元 Vlasov-Poisson 系について考察した。本論文の前半では、任意の大きな初期データの対する時間局所的な可解性についてを研究した。時間局所的な可解性についてを研究を行なった。論文の後半では、ある条件の下での時間大域的な可解性についてを研究の研究をおこなった行った。また Appendix では、Vlasov-Poisson系の空間周期解の、時間局所的な可解性や、ある条件の下での時間大域的な可解性についても論じている。

空間次元が 1、速度変数が n 成分ベクトルであるプラズマ系について考察した。本論文では、この系における孤立波、衝撃波、および波列の存在に関する必要十分条件をそれぞれ明らかにした。更に、進行波の一意性について網羅的に分類した。その結果、平行移動による差異を除外して考えると、一意性は進行波の種類によって異なることが分かった。具体的には、孤立波については、一意である場合とそうでない場合の両方が存在する。衝撃波は常に一意である。波列については一意なものは存在しないということが分かった。

本論文では、完全吸収境界条件を伴う半空間上の Vlasov-Poisson 系を考察し、プラズマ境界層 (シース) の形成について研究を行った。これまでの研究として Suzuki and Takayama (2023) において、定常問題の可解性が研究されている。本論文では、Vlasov-Poisson 系のこれら定常解の非線形安定性および不安定性について研究を行った。

重力場において、吊り下げられた伸びない紐の運動方程式に対する初期境界値問題を考察した。本論文では、安定条件の下で、重み付き Sobolev 空間における初期境界値問題の解のアプリオリ評価を導出した。ここでは、解の正則性の指数 m は 4 以上として考えている。また、解の一意性の証明も与えた。 DOI https://doi.org/10.1007/s00208-023-02786-5

Ωを有界領域とし、Ω×Ｒにおいて、１階対称双曲型系に対する初期境界値問題について考察した。境界条件は極大非負条件を満たす場合を扱っている。本論文では、境界∂Ω×Ｒを３つの集合 U、V、W に分け、境界行列が U 上では正定値、V 上では負定値、W 上ではランクが一定という場合を考え、弱解の正則性が得られることを証明した。

有界領域Ωにおいて、境界条件が極大非負条件を満たす場合の正値対称系に対する境界値問題について考察した。本論文では、境界∂Ωを３つの集合 U、V、W に分け、境界行列が U 上では正定値、V 上では負定値、W 上ではランクが一定という場合について議論を行い、弱解の正則性が得られることを解説した。また、問題の適切性も示した。

有界領域Ωにおいて、正値対称系に対する境界値問題について考察した。境界条件は極大非負条件を満たす場合を扱っている。本論文では、境界∂Ωを３つの集合 U、V、W に分け、境界行列が U 上では正定値、V 上では負定値、W 上ではランクが一定という場合について場合を扱い、弱解の正則性が得られることを証明した。

有界領域Ωにおいて、境界条件が極大非負条件を満たす場合の正値対称系に対する境界値問題について考察した。本論文では、境界∂Ωを２つの集合 U、W に分け、境界行列が U 上では正定値、W 上ではランクが一定という場合について議論を行い、弱解の正則性が得られることを証明した。

有界領域Ωにおいて、正値対称系に対する境界値問題について考察した。境界条件は極大非負条件を満たす場合を扱っている。本論文では、境界∂Ωを２つの集合 U、V に分け、境界行列が U 上では正定値、V 上では負定値であるような場合を扱い、弱解の正則性が得られることを証明した。

３次元の半空間において、理想磁気流体力学系に対する初期境界値問題について考察した。一般には、初期値の取り方によっては、境界行列のランクが境界上で変わることがあり扱いが難しくなる。本論文では、初期値がある仮定を満たせば、境界行列のランクが境界上で変わる場合であっても、解の正則性も得られることを証明した。

３次元の半空間において、理想磁気流体力学系に対する初期境界値問題について考察した。一般には、初期値の取り方によっては、境界行列のランクが境界上で変わることがあり扱いが難しくなる。本論文では、初期値がある仮定を満たせば、境界行列のランクが境界上で変わる場合であっても、解の正則性が得られることを解説した。また、問題の適切性も示した。

有界領域Ωにおいて、境界条件が極大非負条件を満たす場合の正値対称系に対する境界値問題について考察した。本論文では、境界∂Ωを３つの集合 U、V、W に分け、境界行列が U 上では正定値、V 上では負定値、W 上ではランクが一定という場合を扱い、弱解の存在や正則性について議論を行い、解の正則性が得られることを解説した。また、問題の適切性も示した。

有界領域Ωにおいて、正値対称系に対する境界値問題について考察した。境界条件は極大非負条件を満たす場合を扱っている。本論文では、境界∂Ωを３つの集合 U、V、W に分け、境界行列が U 上では正定値、V 上では負定値、W 上ではランクが一定という場合を考え、弱解の正則性について議論した。仮定はこれまでと同じものであるが、結果は、∂W の部分を除けば境界まで込めて弱解の正則性が得られるという、これまでのものよりよい結果を証明した。

半直線上において、定常 Vlasov-Poisson 系に対する境界値問題について考察した。本論文では、静電ポテンシャルが１つの臨界点と極値を持つ二重層解が存在するための必要十分条件を与えた。このような二重層解は、今のところ実際には観測されていない解ではあるのだが、理論的には存在しうるという可能性を示している。

プラズマの境界壁付近におけるプラズマシースの形成を数学的に考察した。本論文では、境界がグラフで描かれている領域における Euler-Poisson 方程式の定常解の存在と漸近安定性を調べた。存在定理と安定性定理は、正イオンの速度が無限距離で Bohm の基準を満たすと仮定して証明を与えた。

半直線上において、定常 Vlasov-Poisson 系に対する境界値問題について考察した。本論文では、静電ポテンシャルが単調であるような単層解が存在するための必要十分条件を与えた。またその証明の過程で、運動論的 Bohm 基準が解が存在するための必要条件であることも解明した。

重力場において、吊り下げられた伸びない紐の運動をモデルとした退化線形双曲方程式の初期境界値問題について考察した。本来、紐の張力も未知関数であるのだが、本論文では既知関数として考えた。重み付き Sobolev 空間を導入し、そこにおいて解の存在と一意性を示し、解の正則性が得られることも証明した。

重力場において、吊り下げられた伸びない紐の運動方程式に対する初期境界値問題を考察した。本論文では、ある自然な条件の下で、重み付き Sobolev 空間における初期境界値問題の解のアプリオリ評価を導出した。但し、解の正則性の指数 m は 7 以上として考えている。