共同研究・競争的資金等の研究課題

ジャンプ型確率過程によって記述される非完備市場を考え、2つの最適ヘッジ戦略local risk-minimizing(LRM)とmean-variance hedging(MVH)に対し、Malliavin解析を用いてそれらの表現及び数値計算法の開発を目指した。とりわけ、(1)BNSモデルに対するLRMの導出と数値計算、(2)指数型加法過程モデルに対するMVHの表現の導出と数値計算、(3)normal inverse Gaussian過程モデルに対するLRMとMVHの数値計算、及び(4)BNSモデルに対するVIXオプションのLRMの表現と数値計算に関する研究を行った。

代表的なジャンプ型確率ボラティリティ(SV)モデルであるBarndorff-Nielsen and Shephard(BNS)モデルに対し、インプライド・ボラティリティの近似式の導出やボラティリティ・サーフェスの分析を行う。また、これらの成果を発展させ、パラメータのカリブレーション手法の提案も目指す。さらに、BNSモデル以外のジャンプ型SVモデルにも研究を広げたい。 本研究は数理ファイナンスの主要トピックの一つである金融派生証券の価格付け理論に関するものであり、特に確率ボラティリティモデルに対するボラティリティ・サーフェスの分析を行うことを目的としている。金融派生証券の価格付け理論は、Black-Scholesモデルを拡張させることで発展してきた。ボラティリティ・サーフェス上に現れるスマイルやスキューなどの現象は、Black-Scholesモデルが資産価格モデルとして正しくないことを示している。そこで、これらの現象を説明できるモデルとして、確率ボラティリティモデルが注目されてきた。しかし、これまでボラティリティ・サーフェスの分析が行われきたモデルは、連続なパスを持つものが中心であった。そこで本研究では、代表的なジャンプ型確率ボラティリティモデルであるBarndorff-Nielsen and Shephardモデル(BNSモデル)を中心に、インプライド・ボラティリティの近似式の導出やボラティリティ・サーフェスの分析を行う。さらに、ボラティリティ・サーフェスの導出を、最近発展が著しい深層学習と組み合わせることで、モデルパラメータのキャリブレーションやヘッジ計算など、様々なトピックに応用できることが分かった。令和4年度(2022年度)は、BNSモデルに対して、教師無し深層学習を用いたオプション価格計算の研究に取り組んだ。さらに、深層学習を用いたキャリブレーションに関する研究に着手し、とりわけ、最近注目を集めている2段階アプローチによるキャリブレーション手法に関する研究に取り組んだ。 研究打ち合わせや国際学会での講演などを目的とした国外出張ができなかったため。 確率ボラティリティモデルを対象に、深層学習を用いたモデルパラメータのキャリブレーションの研究を推進していく予定である。とりわけ、2段階アプローチと言われる手法に注目している。このアプローチでは、最初のステップでボラティリティ・サーフェスを教師あり学習により導出する。このステップに関してはまだまだ改良の余地があり、ボラティリティ・サーフェスのより詳細な分析を行い、高速かつ高精度なキャリブレーション手法の開発につなげたい。

アメリカンオプションに対するショートフォールリスクを考えるため，確率過程上の凸リスク測度の研究を行った．特に，確率過程の最大値がOrlicz空間に入るような空間を導入し，凸リスク測度の表現定理を導出した．次に，凸リスク測度とgood deal boundの関係について研究した．市場が凸錘であるときに，(1) superhedging costの諸性質，(2) 凸リスク測度があるgood deal boundの上下限を与えることとrisk indifference priceであることの同値性，(3) 価格付け理論の基本定理の拡張，について調べた．さらに，市場が単に凸である場合へ拡張した．