Research projects

Considering incomplete markets described by a jump type stochastic process, we aimed to derive, using Malliavin calculus, mathematical expressions of two optimal hedging strategies: local risk-minimizing (LRM) and mean-variance hedging (MVH) strategies; and to develop numerical methods for them. We have solved the following problems: (1) mathematical expressions and numerical methods of LRM strategies for BNS models, (2) expressions and numerical methods of MVH strategies for exponential additive models, (3) computation on LRM and MVH for normal inverse Gaussian models, and (4) expressions and numerical methods of LRM strategies for VIX options for BNS models.

代表的なジャンプ型確率ボラティリティ(SV)モデルであるBarndorff-Nielsen and Shephard(BNS)モデルに対し、インプライド・ボラティリティの近似式の導出やボラティリティ・サーフェスの分析を行う。また、これらの成果を発展させ、パラメータのカリブレーション手法の提案も目指す。さらに、BNSモデル以外のジャンプ型SVモデルにも研究を広げたい。 本研究は数理ファイナンスの主要トピックの一つである金融派生証券の価格付け理論に関するものであり、特に確率ボラティリティモデルに対するボラティリティ・サーフェスの分析を行うことを目的としている。金融派生証券の価格付け理論は、Black-Scholesモデルを拡張させることで発展してきた。ボラティリティ・サーフェス上に現れるスマイルやスキューなどの現象は、Black-Scholesモデルが資産価格モデルとして正しくないことを示している。そこで、これらの現象を説明できるモデルとして、確率ボラティリティモデルが注目されてきた。しかし、これまでボラティリティ・サーフェスの分析が行われきたモデルは、連続なパスを持つものが中心であった。そこで本研究では、代表的なジャンプ型確率ボラティリティモデルであるBarndorff-Nielsen and Shephardモデル(BNSモデル)を中心に、インプライド・ボラティリティの近似式の導出やボラティリティ・サーフェスの分析を行う。さらに、ボラティリティ・サーフェスの導出を、最近発展が著しい深層学習と組み合わせることで、モデルパラメータのキャリブレーションやヘッジ計算など、様々なトピックに応用できることが分かった。令和4年度(2022年度)は、BNSモデルに対して、教師無し深層学習を用いたオプション価格計算の研究に取り組んだ。さらに、深層学習を用いたキャリブレーションに関する研究に着手し、とりわけ、最近注目を集めている2段階アプローチによるキャリブレーション手法に関する研究に取り組んだ。 研究打ち合わせや国際学会での講演などを目的とした国外出張ができなかったため。 確率ボラティリティモデルを対象に、深層学習を用いたモデルパラメータのキャリブレーションの研究を推進していく予定である。とりわけ、2段階アプローチと言われる手法に注目している。このアプローチでは、最初のステップでボラティリティ・サーフェスを教師あり学習により導出する。このステップに関してはまだまだ改良の余地があり、ボラティリティ・サーフェスのより詳細な分析を行い、高速かつ高精度なキャリブレーション手法の開発につなげたい。

I have studied convex risk measures on stochastic processes in order to deal with shortfall risk measures for American options. In particular, I introduced spaces of stochastic processes whose maximum belongs to an Orlicz space; and obtained representation results for convex risk measures defined on such spaces. Next, I have researched on relationship between convex risk measures and good deal bounds. Supposing the market is a convex cone, I investigated (1) properties of superhedging cost, (2) the equivalence for a convex risk measure between that it represent upper and lower bounds of a good deal bound and that it is given as a risk indifference price, (3) extensions of the fundamental theorem of asset pricing. In addition, I extended the above results to the case where the market is merely convex.