５を因数分解すること

わたしたちは学校で数の世界のひろがりを教わりながら成長します。風呂につかって300まで数え、分数、負の数、無理数となっていくに従って、出来ることがどんどん増えるので楽しい気分になります。複素数までならうと、どんな2次式でもかならずふたつの1次式の積に分解出来ることに満足した人もきっと多いでしょう：

そして、もちろんa+ibやa−ibはもはや普通の整数ではないですが、普通の整数aやbやiと組み合わせてできる進化した整数なのだ、というふうに思いきって発想をジャンプします。するとつまり「うまい新しいタイプの整数をつかって改めて素因数分解を考えなおしてみたら、世の中どうなるだろう」と自然にいくらでも拡がってくる。ただ闇雲に解答するより、明らかに事実のツボをおさえたことになります。わたしはこれを学生のときに教わって、自分で編みだしたのでないのは残念でしたが、それでもなにか数学の自由さ（だって素数の素因数分解をするのだから）を感じた楽しい瞬間のひとつでした。

すこし発展的になるかもしれないですが、いまの場合は答えもふるっています。実際、求めたい素数全体は

の素因数分解に出現する素数達全体、にも丁度一致するのですが、それは

4で割ると1余る素数たちのきっかり全体、