共同研究・競争的資金等の研究課題

Symmetries have proven to be of great importance in various fields, owing to the versatile applications in elucidating solution properties to physical models. Many scholars made substantial contributions to the study of symmetry methods for discrete equations, giving rise to a plethora of subsequent research and applications. Despite these advancements, a multitude of unresolved questions continued to challenge the field. The primary objective of the current project is to tackle some of the unresolved questions concerning the symmetries of discrete equations and to explore their applications.

Geometric integrator is among one of the most efficient numerical methods for differential equations. In this project, we establish a unified and systematical analogue for understanding both continuous and discrete multisymplectic structures of arbitrary order variational differential equations.

複雑な流体現象の数理的モデリング，マルチスケール現象に関する偏微分方程式及び確率微分方程式に関する数学解析，非線形力学の応用について研究を推進した．複雑な流体現象の数理的モデリングでは，非平衡熱力学系のラグランジュ的な変分的定式化，キャビテーション気泡クラウドのモデリングと実験的検討，レイリー・ベナール対流に現れるLCS構造の解明，確率的な気泡ダイナミクスの変分的定式化と解析を行なった．数学解析では，ナヴィエ・ストークス方程式の2相問題の解の存在一意性，確率偏微分方程式である多成分KPZ方程式や修正KdV方程式等について調査した．また，LCS解析の宇宙機の軌道設計への応用などについて考察した． マルチスケール構造を有する複雑流体現象に関する研究に関連して，非平衡熱力学に関する新たな変分的定式化と確率的な変分法の開発を行い，さらにキャビテーションや対流現象等の解析が可能となったことで，乱流などのより複雑な熱流体現象の数理的な解明への糸口を見出すことに成功した．また，２相流に関するナヴィエ・ストークス方程式に関する解の存在と一意性や，確率偏微分方程式である多成分KPZ方程式や修正KdV方程式等の大域的適切性を示したことは数学解析において極めて重要な成果である．さらに，流体におけるLCSの解析を宇宙機の軌道設計に応用できたことで，非線形力学の応用において大きな発展をもたらす可能性を示せた．