共同研究・競争的資金等の研究課題

流体力学極限は、膨大な自由度を持ち確率的に振る舞う相互作用粒子系から、時空間変数に関する適切なスケール極限を用いて、その保存量が従う決定論的な偏微分方程式を導出する手法である。非平衡統計力学を基礎付ける方法として長年盛んに研究され続け、個々のモデルに対する定理の積み重ねとして発展してきたが、既存の流体力学極限の証明は、個々のモデルの詳細に依存しており、物理的に期待されるようなロバストで普遍的な理論には程遠い。本研究は、非平衡統計力学を基礎づける重要な手法である流体力学極限の普遍的理論体系の構築を、無限直積空間上の新しい幾何学の創出によって、実現することを目指すものである。

本研究では、本質的に高次元の総実代数体の場合に、重要な数論幾何的対象であるポリログの研究を進めた。当初はEisenstein類と呼ばれるコホモロジー類を研究することを想定して研究を進めていたが、研究課題の途中で総実代数体に付随する代数トーラスのポリログを考えると良いことを発見し、ネコバーとショルにより提唱されたプレックティック構造の理論を考えることで、総実代数体のHecke L関数の特殊値を記述する新谷ゼータ関数の母関数を、ある種の総実代数体上のコホモロジー類として解釈することに成功した。 整数論において、総実代数体は最も基本的な有理数体、虚２次体についで、最も基本的な研究対象である。また、有理数体と虚２次体の場合は対応する幾何学的対象は１次元であるが、総実代数体は高次元であることから、初めて遭遇する本質的に高次元な場合と言って良い。この場合に対して、70年代より新谷によりHecke L関数の特殊値を捉える新谷ゼータ関数とその母関数は研究されていたが、本研究では、この母関数をコホモロジー類で解釈すると、標準的な類によって与えられるという画期的な成果を得た。

本研究の目的は、ポリログと呼ばれる数論幾何的対象より、数論幾何的予想の解決に有用と期待される新しい motivic な単数の創出を試みることであった。研究期間内には、総実代数体に付随する「代数トーラス」と呼ば れる幾何学的対象に対して、「単数群」による同変作用を考え、これに付随する同変ポリログを構成し、総実代 数体の Hecke L関数の臨界値を生成する標準的なコホモロジー類(新谷生成類)を新たに発見し、新谷生成類と ポリログの明示的な関係も示した。またプレクティック構造と呼ばれる構造を用いて、この構成が望むmotivic な単数を与えることを示唆する、精密な予想を定式化することに成功した。 本研究は、数論幾何と呼ばれる純粋数学分野に関する研究であり、代数的数と呼ばれる方程式の解で与えられる 数について、非常に根本的な成果を与えている。古典的なRiemannゼータ関数やDirichlet L関数の一般化とし て、総実代数体に付随するHecke L関数という関数が存在する。本研究では、この総実代数体のHecke L関数を捉 える、良い幾何学的対象を見つけることに成功した。Dirichlet L関数の場合は1次元の幾何を扱っていたが、総 実代数体の場合は高次元となるので、問題が難しくなっていた。本研究では、高次元の場合、同変性を用いるこ とが肝であることを実証した。