研究発表

Abstract : The degenerate third Painlev\'e equation P3d has quite different properties from those of the complete third Painlev\'e equation; for example, P3d admits algebraic solutions written by the cube root. For a general solution of P3d we show the Boutroux ansatz, that is, present an asymptotic elliptic expression near the point at infinity. Applying some changes of variables to P3d and to the related isomonodromy linear system, we rewrite them in the forms suitable for our purpose, and examine the manifold of monodromy data. For this linear system we first solve the direct monodromy problem by WKB analysis, and in the next step for given monodromy data we find an asymptotic form of the desired solution as solution to the inverse monodromy problem, the validity of which is guaranteed by Kitaev's justification scheme. Consequently we obtain an asymptotic representation in terms of the Weierstrass pe-function in cheese-like strips along generic directions. Publ.~RIMS Kyoto Univ. 60 (2024), arXiv:2207.11495

Painleve 方程式 PI, PII の解の無限遠点近くでの漸近的振る舞いは楕円函数により 表現されることが，1910 年代に Boutroux により見出された.その論文自体は近づき難い ものであるが，Boutroux 自身はその本質は把握していたように思われる. PI, PII の解の elliptic な漸近表現は 1990 年前後に Joshi と Kruskal が multiscale expansions の 方法によりもとめた.そしてモノドロミー保存変形を用いた方法で PII の elliptic な漸近表現を 得たのは Novokshenov が最初であり，その後少し異なったやりかたで Kapaev, Kitaev が PI, PII の漸近表現を導いた. また最近の Iwaki の PI に関する研究では topological recursion の 方法により τ-function のレベルで漸近表現の構成に成功した. この講演で は PV にモノドロミー 保存変形の方法を用いて elliptic な漸近表現を与える.また時間 が許せば，PIII(D6), PIII(D7) に ついての結果，今後の問題などにも言及する.