共同研究・競争的資金等の研究課題

本研究課題では，変分構造を持つ非線形楕円型方程式に対し，解の存在や解の性質を明らかにすることを目標にしている．本課題で扱う非線形楕円型方程式は物理学や幾何学において現れ，解の存在やその性質を調べることは重要であるが，解の陽的な表示を得ることは非常に難しく，ほとんど不可能であるように思える．そのため解の陽的な表示を使わずに特定の性質を持った解の存在を示したり，解があったとすると特定の性質を必ず持つ，ということを明らかにしたい．

本研究課題は非線形楕円型方程式と呼ばれる偏微分方程式に対し，特定の性質を持った解の存在(および非存在)を明らかにすることを目標としている．本課題で扱う方程式は，物理学など数学以外の分野において現れるものや幾何学と関連が深いものである．これらの方程式については自明な解と呼ばれる解以外(それらを非自明解と呼ぶ)については解を具体的に書き下すことはできず，非自明解の存在自体が知られていない．本課題では，非自明解の存在を証明することを目標にしているが，それと同時に見つけた非自明解がどのような性質を持っているかについても明らかにしたい． 以下の４つのテーマについて研究を行った: (A)分数冪ラプラシアンを伴う方程式，(B)劣線形反応項を持つ定数係数楕円型方程式，(C)Born-Infeld方程式，(D)1次元相対論的非線形シュレディンガー方程式． (A) 本テーマでは，分数冪ラプラシアンとHardy-Henon型非線形反応項を伴う方程式の解の存在およびその性質について研究を行った．特に本年度は，安定解の層構造を非有界な解を含むものまでに拡張することに成功した．さらに安定解の存在，非存在に関わるJoseph-Lundgren指数と呼ばれる指数の性質についても前年度までに得られていた結果を拡張することができた． (B) 本テーマでは，劣非線形反応項を伴う非線形楕円型方程式に対し，非負値解および非自明解の多重存在性を示した．また非負値解の性質(対称性，一意性，解の台が有界になる，解の漸近挙動)についても明らかにした． (C) 本テーマでは，方程式に対応する変分問題の解が，方程式の弱解になるかについて解析を行った．本年度得られた結果は，2次元の場合，変分問題の解が方程式の弱解になることを示す上で非常に重要となる性質の１つ(光線の非存在)を示すことに成功した．また，外力の特異性のサポートが非常に小さい場合(Dirac delta の重ね合わせなど)，外力の特異性が変分問題の解に及ぼす特異性が非常に小さいものであることも示すことができた． (D) 本テーマは，１次元という特性上，既存の研究の手法(スケーリングを土台にした手法)を直接適用できない状況になっている．この状況下において，非自明解の存在を示すことに成功した． Born-Infeld方程式の解析では，解の滑らかさについて当初想定したよりも困難な問題であることが判明した．特に変分問題の解が方程式の弱解となることを示すのも難しいが，その中でも２次元の場合，弱解であることを示す上で大変重要な性質である光線の非存在を示すことに成功した．その他の重要な性質については２次元という制限をかけずに示すことができた．これらを考慮すると本テーマについては順調に進んでいる． 非局所効果を持つ方程式の解析は，分数冪ラプラシアンを含む方程式と１次元相対論的非線形シュレディンガー方程式について行った．分数冪ラプラシアンについては，先行研究を大幅に拡張することができ，Joseph-Lundgren指数についても繊細な性質を明らかにすることができた．相対論的非線形シュレディンガー方程式についても既存研究では扱うことができていなかった状況を扱うことができた．またここで用いたアイデアは他の問題に対しても有効ではないかと考えている．したがって本テーマについても順調に進んでいる． 劣線形反応項を伴う方程式の解析は新しく発掘した研究テーマであり，優線形反応項の場合と比べると解の性質が著しく異なることが既存の研究で知られている．その中でも劣線形項のべきを0に近づけたとき等の漸近挙動は新しく発見したことである．このように計画当初予期していない研究テーマについても成果が得られており，研究は順調に進んでいる． まずBorn-Infeld方程式の解析については，想定していたよりも困難な問題であることが判明した．しかし，今年度の研究を通し判明した性質を踏まえると３次元以上の場合でも変分問題の解が方程式の弱解であることを示せるのではないかと考えている． 非局所効果を持つ方程式の課題については分数冪ラプラシアンを含む方程式や１次元相対論的非線形シュレディンガー方程式について引き続き考察する．分数冪ラプラシアンを含む方程式については，今年度まで得ることができた結果と議論を用い，他の方程式に対しその技法を応用できないかを考察する．また１次元相対論的非線形シュレディンガー方程式については，非線形項に対する制約が強い部分があるので，ここを緩めることができないかを考える．また他の方程式に対し，ここで得られた手法が適用できないかについても考察する． 上で述べた課題以外にL^2制約条件を課した変分問題などについても解析を進めて行きたい．

楕円型方程式の一つの研究分野として，一つのパラメータλを持つ非線型楕円型偏微分方程式を考え，「λの値の応じて解の個数や性質などがどのように変化するのか？」を考える問題がある．この問題は，純粋数学，物理学，化学，生物学のモデル方程式などの分野に現れる基本的な問題の一つである．関数空間とλの直積空間上に解集合（分岐図式）を描くことが大きな目的である．本研究では非線形項の増大度を，臨界ソボレフ指数と比べることによって，3つの場合（優臨界・臨界・劣臨界）に分けて，分岐図式を解明することを目標とする． 宮本は，優臨界楕円型方程式は大きな進展がなかったが，新たな応用例を発見し成果を得た．それは，特異非線形項を持つ楕円型方程式の球対称退化解と球対称古典解の交点数に関する結果で，その副産物としてある種のMEMS方程式において完全な分岐図式が得られることを示した．また，放物型方程式の時間局所可解性において大きな進展があった． 内藤は，優Sobolev臨界非線形項をもつ非線形熱方程式の正値解において，後方自己相似解に前方自己相似解を接続することにより，peaking 解という特殊解の構成を行った．これにより特異定常解より大きい爆発形状を持つ不完全爆発解の存在を示すことができた．さらに爆発後の解の延長について，最小接続解と非最小接続解の性質を明らかにした． 生駒は，ラプラシアンを主要項とし，劣線形冪乗型非線形項を持つ方程式の最小エネルギー解について研究を行った．特に最小エネルギー解のサポートや非線形項の冪を0や1に近づけたときの最小エネルギー解や最小エネルギー値の挙動を明らかにした．また，3次元空間におけるシュレディンガー・ポアソン方程式の最小化解が有限な球上の問題で近似可能かについて考察した．得られた結果は，球上の解の列が発散するのであればどのような挙動があり得るのかについて分類することができた．更なる検証が必要だが，近似可能性の問題についても特別な場合が解決されたように見える．今後は詳細の検討と他次元の場合についても研究を進めていく． 石毛は，非線形境界条件熱方程式が可解であるために許容できる初期関数の特異性の特徴付けを行い，可解であるための最善の十分条件を得た．この他，零臨界と言われる解析が困難とされていた場合のポテンシャル項付き熱方程式の漸近展開，優臨 界における非斉次項付き非線形楕円型方程式の解構造，動的境界条件化における放物型方程式の定性的性質について研究を行った． (i)優臨界楕円型方程式の予期しない応用例を発見しその方向で大きな進展があった．それは，研究実績の概要にある通り，特異非線形項を持つ楕円型方程式の球対称な退化解の性質を明らかにした．そこで用いられた技術は，優臨界楕円型方程式の特異解の研究で用いられた技術の応用である（特に，交点数，漸近展開，スケール変換等である）．退化解の性質から，球領域における対応するMEMS方程式の分岐構造が決定された．この結果によって対応する放物型方程式の研究が大きく進展することが期待される． (ii)劣臨界楕円型方程式については，当初の予定した結果が得られたが，予期した以上の成果ではなかった． (iii)放物型方程式については，時間局所可解性の研究で大きな進展があった．一つはある弱結合した反応拡散系に関するもので，もう一つは二重臨界型藤田方程式に関するものである．特に前者の方程式は優臨界型となっており，可解性の条件が(i)の研究テーマの一つである特異解と密接な関連があると信じられている．この２つの研究以外にも，（まだ出版には至らないが）分数冪ラプラシアンを含む放物型方程式の可解性や，一般的な非線形項を持つ単独放物型方程式の可解性に関しても進展があり，予期しなかった進展が色々あった． まとめると，(ii)劣臨界方程式では当初の予定どおりの成果が得られた．(i)優臨界楕円型方程式では大きな進展はなかったが申請時に予期していなかった応用例がありその方面で新しい結果が得られ，新しい研究の方向性が発見できた．(iii)放物型方程式では，時間局所可解性に関して大きな進展があった（ただし楕円型方程式との対応は依然として不明）．全て総合して，「(2)おおむね順調に進展している」とした． (i)優臨界楕円型方程式 当初の予定通り，一般的な優臨界の非線形項を持つ半線形楕円型方程式の特異球対称解の存在と一意性と古典解の特異解への収束を示すことが大きな目標である．これらを示すことによって，対応する球領域における正値解の分岐構造を解明する．また，前年度に発見した新たな応用例（特異非線形項を持つ半線形楕円型方程式の退化解について上記の３性質を証明すること）を拡張し，特異非線形項を持つ準線形楕円型方程式の退化解に拡張することが，（実現可能性が高い）目標である． (ii)劣臨界方程式 前年度は，L2拘束条件下における一般的な非線形と負のポテンシャル項を持つSchrodinger方程式の最小エネルギー解の存在と非存在に関して進展があった．今年度は，同様の拘束条件下における最小化問題を，他の方程式に拡張し，可能ならば最小エネルギー解以外の解を発見することを目指す． (iii)放物型方程式 前年度は，放物型方程式の時間局所可解性について大きな進展があった．これを踏まえて解の存在と非存在をわける関数空間が決定できる単独放物型方程式の非線形項のクラスを拡張し，知られている結果を全て含む最大のものを目指す．また，放物型方程式の時間局所可解性と，対応する定常問題（楕円型方程式）の特異解との関係の解明を目指す．また，(i)の特異非線形項を持つ半線形楕円型方程式の退化解の研究で得られて成果をベースにして，対応する放物型方程式の解の定性的理論の研究を目指す．

本研究課題では物理学, 工学に現れる非線形分散型方程式に対し, ソリトンおよび散乱という立場から研究を行っている. 研究代表者の瀬片は, gauge不変な非線形項をもつKlein-Gordon方程式の複素数値解の時刻無限大での詳細な挙動を, 解の漸近形がみたす常微分方程式を精密に解析することにより捉える事ができた. また, Jason Murphy氏, 研究分担者の眞崎氏とともに, 前年度に引き続き, 吸引的なデルタポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式のソリトンのまわりでの解の長時間挙動について研究を行った. これまでは小さなソリトンのまわりの解について考察してきたが, 今年度は, 線形の散乱理論を援用することで, 必ずしも小さいとは限らないソリトンのまわりの解の挙動について考察した. 研究分担者の前田は, Scipio Cuccagna氏とともに吸引的なデルタポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式に対し, virial型の議論をすることで質量劣臨界の場合に小さな解が時刻無限大でソリトンと分散波に分かれることを証明した. また, 非線形シュレディンガー方程式の臨界周波数付近でのソリトン解の振動を解析した. 研究分担者の高田は, 2次元非粘性成層 Boussinesq方程式の初期値問題を考察し, 最適な初期正則性のもとで長時間可解性を証明した. 研究分担者の生駒は, 質量が一定という制約条件の下，ハミルトニアンを最小化するにする関数の存在および非存在を考察した. 特に調和ポテンシャルのように強い効果を持たないポテンシャル関数と一般的な非線形項の取り扱いに成功した. また, 2つの冪乗型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式に対する基底状態解の一意性および非退化性を示した. 特に1つの冪はSobolev臨界であり，周波数が非常に大きい状態を取り扱った. 吸引的なポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式の解の長時間挙動の解析が当初の計画通りに進んだ. また, 非線形シュレディンガー方程式の臨界周波数付近でのソリトン解の振動の解析や, 質量一定という制約条件の下でのハミルトニアンの最小化問題など, 本研究の主要なテーマの多くが大きく進展した. 引き続き吸引的なポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式の解の長時間挙動について考察する. また, 一般化 KdV 方程式について, 引き続き, 解の挙動を分類するという観点から研究を行うとともに一般化 KdV方程式で培った手法をより一般の非線形分散型方程式に応用することを試みる.さらに, 分散型方程式を中心とする偏微分方程式に関する2~3日間程度の研究集会を開催し, 国内外の偏微分方程式, 数値解析の研究者と研究交流を図ることで研究を推進させる.

本課題では偏微分方程式の１種である非線形楕円型方程式(連立系)に対し，その方程式に解が存在するのか，また存在したとすればどのような性質を持つのかについて研究を行った．特に変分構造を持つ方程式(楕円型作用素の分数冪作用素を含む方程式など)を中心に調べ，ある特定の性質を持った解の構成や解が多重に存在することなどを示すことに成功した．また非線形楕円型方程式と深い関係を持つ関数不等式についても研究を行い，不等式を等式として満たす関数が存在するか，という問に対する解答を与えた． 分数冪作用素を含む方程式に対する成果は，既存研究の結果を拡張し，その証明はこれまでの議論を整理し，様々な場合を統一的に扱えるようにするものである．また，他のテーマの成果は，更なる研究を誘発する研究成果や既存研究の枠組みに収まらないものであり，これらの成果を得るために新たな手法を開発した．このようなことから本研究成果は学術的に意義があるものである．