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In this paper, we propose a new implementation of the Newton scheme of an approximate preconditioner for the reduced linear system. In the original Newton scheme, the trouble is that the computation cost of the matrix-matrix product is always so expensive. On the other hand, the proposed implementation computes the preconditioner implicitly and reduces the cost of constructing the preconditioner by using the matrix-vector product form. We also show that the proposed implementation is less expensive than computing the preconditioner in explicit form.

BiCGStab(ℓ) algorithm is one of iterative methods to solve large and sparse nonsymmetric linear systems of equations. It stabilizes the residual norm of BiCG (bi-conjugate gradient) algorithm by adapting ℓ degree MR (minimal residual) polynomial. When the degree of MR polynomial ℓ becomes larger, the convergence of residual norm will be better.　However, the computational cost will be increased. Sleijpen and van der Vorst proposed the BiCGStab(ℓ) algorithm with varying ℓ, when a breakdown of the algorithm occurs. But conventional BiCGStab(ℓ) algorithm often costs effective rather than their algorithm. In this paper, it is both of when the norm of residual stagnates and the breakdown　is likely to occur, the BiCGStab($ell$) algorithm for varying ℓin adaptation is proposed. At last, this algorithm is implemented on the　distributed memory machine Fujitsu AP3000 and the numerical examples are given.

DQGMRES(k) method for solving nonsymmetric linear system of equation is generally used with truncated procedure to reduce storage requirements and orthogonalization costs. However, the truncated version sometimes slows down the convergence of algorithm in order to use incomplete orthogonalization. By using the restart technique, we proposethe DQGMRES(m,k) method which improves the convergence of residual norm. At last, the results of numerical experiments show that DQGMRES(m,k) method with an approximate inverse preconditioning gives a more robust algorithm than the other schemes.

大型で疎な非対称正則行列を係数とする連立1次方程式の反復解法の1つとして，GMRES(m)法がある．この算法はリスタートを行なうことによって，記憶容量や計算時間を軽減しているが，このことが原因で近似解を構成するために必要な固有ベクトルの情報を失い，算法の収束性に悪影響を及ぼすことがある．そこで，本稿では近似不変部分空間を用いて固有ベクトルの情報を付加するような左前処理行列を適応的に決定し，収束性を改善させる算法について述べ，並列計算機(Origin2000)での数値実験によりその有効性を検証する．

近似逆行列を前処理とする算法の開発においてフロベニウスノルムを最小にする技法を提案する論文である．本論文では，GMRES法の前処理としてMR法を利用して，その収束性の評価を行っている．

行列のILU前処理は，反復法の収束を改善する方法として有効な手法である．本論文では，ILU分解を発展させた2階のILU分解とその頑強性について考察した．また，数値実験では，反復階数の減少などを比較し，提案手法の有効性を考察した．

大規模な固有値問題の解法として利用されているLanczos法の直交性を修正し，3重対角行列からHessenberg行列に変換することで，固有ベクトルの精度を改善する算法を提案し，数値実験によりその有効性を示した．

GMRES(m) method is a Krylov subspace method for solving nonsymmetric linear systems of equations. The difficulty of this method lies in choosing the appropriate restart cycle m. In this paper, we propose a new strategy of adaptive restart for GMRES(m) method which based on an idea due to the difference of the Ritz and harmonic Ritz values. We also report on numerical experiments. These results show that this new approach is both effective and robust．

The Newton scheme is used to construct an approximate inverse preconditioner for Schur-complement. However, this scheme is so expensive because of the computation cost of matrix-matrix multiplication. In this paper the computation cost of the Newton scheme is reduced by computing the preconditioner implicitly. It's also shown that the proposed scheme is much less cost than computing the preconditioner in explicit form with matrxi-matrix multiplications.

GMRES(m)法は，大型で疎な非対称行列を係数として持つ連立1次方程式を解くためのクリロフ部分空間法の1つである．GMRES(m)法において，Ritz値と調和Ritz値は低コストで求められ，その収束はこれら2つの値から評価できる．本稿では，Ritz値と調和Ritz値を利用してGMRES($m$)法の適応的なリスタート手法を提案する．数値実験の結果から，古典的なGMRES($m$)法と比較して本稿で提案する手法の有効性を示す．

GMRES($le m_{max}$)法は，残差多項式の零点分布に基づいて リスタートを行う算法である．しかし，零点が理想的な分布にならないと，リスタート周期の値が強制的に最大値となる $m_{max}$ でリスタートを行うことになる．本稿では，残差ノルムの収束判定を行う新しいパラメータを導入し，この基準からもリスタート周期を決定するGMRES($le m_{max}$)法の改良版を提案する．

縮小行列系を構成したときに，シュールコンプリメントの前処理をどのように行うかが問題となる．本論文では，Newton法による前処理を考え，初期値の選択方法などを議論した論文である．

近年，不完全LU分解に基づいたマルチレベル法が注目を集めており，Saadらの開発したARMSを使って数値実験を行い，マルチレベル法の有効性を評価した．

連立1次方程式の係数行列が非対称な場合に，前処理として不完全LU分解がよく利用されるが，本論文ではそれを2階まで一般化した不完全LU分解について提案した．