Research projects

近年 Fargues--Scholze によって局所 Langlands 対応の圏化が定式化された．本研究の一つの目的は，局所 Langlands 対応の圏化の保型側における関手性を幾何学的に構成することである．またそれに関連し p 進シュトゥーカのモジュライ空間のコホモロジーや，局所 L パラメータのモジュライスタックの構造について調べる． Fargues--Scholze による p 進簡約代数群 G に対する局所 Langlands 対応の圏化と，幾何学的 Langlands 対応における研究を参考に，局所 Langlands 対応の圏化を p 進簡約代数群の被覆群に拡張する研究を進めた．幾何学的 Langlands 対応の場合を参考にして，得られていた被覆群の設定における gerbe を用いて，混標数の幾何学的佐武対応の定式化を与えた．さらにその証明について，詳細な議論の検討を行った．さらに被覆群の設定における L パラメータのモジュライ空間の構成を行った．また Hecke 関手の構成について議論を行った．l 進係数の場合は技術的な問題があるが，それについても議論の見通しが立った．Langlands 対応の有限体類似の定式化と証明についても検討を進め，証明の詳細について検討した．さらに局所 Langlands 対応の圏化と Langlands 対応の有限体類似の整合性についてもさらに考察を進めた． 局所 Langlands 対応の構成のための重要なステップである Hecke 関手の構成についても証明の見通しがたったので順調に進展しているといえる． Fargues--Scholze による p 進簡約代数群 G に対する局所 Langlands 対応の圏化と，幾何学的 Langlands 対応における研究を参考に，関手性の幾何学的実現について研究を進める．まず被覆群の設定における混標数の幾何学的佐武対応の証明をさらに検討し，完成させる．被覆群の設定における L パラメータのモジュライ空間の構成についても詳細を確認する．Hecke 関手の構成については，考えている議論の詳細を検討する．それができればL パラメータの構成は問題ないはずなので，既存の構成との整合性の問題を考える予定である．また，被覆群の設定における局所 Langlands 対応の圏化予想の定式化についても検討を進める．Langlands 対応の有限体類似についてもさらに検討を進め，整合性の問題を特別な場合に証明できるかという問題について考える．またポスドク研究員を雇用し，関連する問題も含め研究を進める．

Fargues-Scholzeによる局所Langlands対応の幾何化の仕事を応用することで、一般線型群の局所志村多様体（Rapoport-Zink空間としても知られている）のコホモロジーの消滅定理を証明した。これはCaraiani-Scholzeによるユニタリ型志村多様体のコホモロジーの消滅定理の類似である。また、同様のアイデアを用いることで、Caraiani-Scholzeの消滅定理自体の大幅な技術的改善にも成功した。関連して、局所志村多様体のコホモロジーに対して、Eichler-志村関係式の一般化といえるようなものがFargues-Scholzeの仕事から導出できることも考察した。 K3曲面のCM持ち上げとTate予想についての論文が出版された。この延長として、K3曲面の自己積（2つの積の場合）に対しHodge標準予想が証明できることを発見し、論文を準備中である。また、3つ以上の自己積の場合にもAnconaの結果と組み合わせることで数値的Hodge標準予想が様々なケースで証明できる見込みである。（伊藤和広氏、伊藤哲史氏との共同研究）同様のアイデアで、特別なアーベル多様体（例えば、素数次元単純アーベル多様体の自己積）の場合にも数値的Hodge標準予想が証明できることも発見し、先に論文にまとめた。 引き続き、整p進Hodge理論の研究を行った。対数的プリズマティックコホモロジーの理論の基礎的部分の技術的課題がほぼ解決し、論文を準備中である。（部分的にZijian Yao氏との共同研究）Bhatt-Lurie, Drinfeldのスタック的アプローチの対数版についてのアイデアも得た。 また、Ildar Gaisin氏との相対版Ainfコホモロジーの論文がほぼ完成した。

本研究課題の目的は、近年大きく発展している非アルキメデス幾何の手法を研究して、超ケーラー多様体やそのモジュライ空間の構造の研究を行い、数論・代数幾何・数理物理などの様々な分野の問題に応用することである。この目的のため、昨年度に引き続き、本年度も研究集会やセミナーを開催して、非アルキメデス幾何や超ケーラー多様体に関する情報収集や情報交換を行い、研究を進めた。 正標数および混標数のK3曲面の退化とモジュライ空間に関する研究を進めた。特に超特異と呼ばれるクラスのK3曲面やそのモジュライ空間について、幾何学的な構造の研究を進めた。超ケーラー多様体と深い関係のあるファノ多様体について、専門家を招聘したセミナーを開催して、ファノ多様体の幾何学およびコホモロジーの研究を行った。あるクラスのファノ多様体については、モジュライ空間をアーベル多様体のモジュライ空間と結びつけることで数論的性質を研究した。非アルキメデス局所体上のp可除群の周期に関係して、志村多様体のp進幾何的な構造やp進保型形式への応用についてのセミナーを開催して、非アルキメデス幾何学の数論への応用に関する研究を進めた。 これらの研究を進めるために、非アルキメデス幾何や超ケーラー多様体の関連分野についての知識・技能を持つ大学院生を研究補佐員として雇用して研究に従事させ、専門的知識を提供させた。 セミナーの参加者も増えており、充実した研究活動を行うことができた。