Research projects

An open real group orbit in a complex flag manifold is called a flag domain. In this research project, we studied geometric properties of flag domains. One of the main result is about pseudoconcavity of flag domains. We proved that a flag domain is either pseudoconvex or pseudoconcave, which is positive confirmation of Huckleberry's conjecture. The paper on this result has been published in Mathematische Annalen as a co-authored paper with Huckleberry and Latif. Moreover, we studied cycle-connectivity of pseudoconcave flag domains. We determined which pseudoconcave flag domain is one-connected in some particular cases.

これまでの旗領域の1連結性に関する結果を論文としてまとめて投稿し，それがJournal of Lie Theoryに採録決定した．この論文では，旗領域がAIII型またはCI型コンパクト対称空間に含まれるような場合，およびそれに付随する場合に対して，１連結となる同値条件を示している．昨年度までの研究では，ワイル群の行列表現を使って主結果の証明を与えていたが，査読者からの指摘によってさらに簡略化した組み合わせ論的手法によって証明することができた． 本研究課題ではコンピュータグラフィックス(CG)の研究への波及効果や可視化を生かしたアウトリーチを見込んでいたが，本年度はCGに関連する数学についての書籍を執筆した．これはリアルタイムCGのプロシージャル技法について書いたもので，テクスチャリングや3Dレンダリングにおけるベクトル解析や距離空間，符号付き距離関数の応用とシェーダプログラミングによる実装について著している．ここでは鏡映群などの組み合わせ論的性質が，3D形状の対称性の構成に必要とされる． さらにCG研究の産業応用として，国内企業と協業し，テキスタイルや建築分野での研究開発にも参加した．デジタルデータを工作機械を使ってものづくりに応用することはデジタルファブリケーションと呼ばれるが，ここでは数理的アルゴリズムを使ったデジタルファブリケーションについて研究開発を行った．これらの成果については公表できる形になりつつあり，有力カンファランス採択を目指して論文を執筆している．

穴あき円盤上の偏極ホッジ構造の変形で、モノドロミー作用が冪単であるようなものを考える。これに対する中間ヤコビ多様体の族を構成することができるが、この族の円盤上へのある種の拡張がネロンモデルである。Green-Griffiths-Kerrは、切断がadmissible normal functionであり、ハウスドルフ空間を全空間として持つような族としてネロンモデルを構成した。 一方、中間ヤコビ多様体は、ホッジ構造の、混合ホッジ構造の圏における拡大として記述できることが知られており、その観点からadmissible normal functionはadmissibleな混合ホッジ構造の変形に対応している。加藤・中山・臼井は対数的混合ホッジ構造を定義し、そのモジュライ空間を構成した。混合版のモジュライ空間に対しても、純な場合と同様な幾何学的性質が成立することを彼らはアナウンスしている。その理論を使い、境界点として退化した混合ホッジ構造(対数的混合ホッジ構造)を付け加えることで、彼らはネロンモデルを構成した。 私は両者の空間の位相同型写像を構成した。この写像の構成には、加藤・中山・臼井によって得られた純、および混合の場合におけるモジュライ空間のトーザーが重要な役割を果たす。Graded商写像を取ることによって混合ホッジ構造から純なホッジ構造への写像ができるが、この写像とトーザーの局所自明化、混合ホッジ構造の変形のadmissiblityを使うことで、二つのネロンモデルの間の同相写像を構成する。