Research projects

ブラックホールの周りに光源が分布するとき，ブラックホールによる光の吸収が「影」として観測されることが予想されている．ブラックホール周りの光の不安定円軌道により，対数的に光度が発散するような「明輪」の存在を示した． Kerr ブラックホールの回転が最大になるとき，ある種類の光の束縛軌道が地平面に漸近することを明らかにした．このとき，光線束の断面の歪みはゼロになることを明らかにした． 波面がらせん状にねじれている「光渦」に対し，アイコナール近似により軌道の方程式を導いた．回転ブラックホールの周りの光渦は，ブラックホールの角運動量と光渦の間の相互作用により，測地線からずれることを明らかにした．

あたえられた標準的な初期状態から、目的の状態に最短時間で到達するための、(一般には時間に依存する)ハミルトニアンを、一定の制約の中で探す問題を考えた。これは、量子計算の回路の最適な構成、デバイスの最適な設計など実際的な問題であると同時に、一般的に量子系の制御の問題と捉えても興味深い。 この問題を変分原理で定式化するときに、(1)状態変化はシュレーディンガー方程式に従うこと(2)ハミルトニアンは、自然法則からの制限、使えるエネルギーが限られていること、あるいは実験上の制約など、拘束条件が課せられていることを、ラグランジュ未定係数法により取り入れる。変数は、状態ベクトルとハミルトニアンの両方である。変分から、シュレーディンガー方程式と、量子最速方程式と名付けた普遍的な微分方程式が得られ、それらを解くことにより最適なハミルトニアンを得る。それにより、最速の量子状態時間発展を得る。いくつかの簡単な純粋状態の例で実証した(第1論文)。次に、これを初期状態によらない一般のユニタリー変換を最適化する問題に拡張し、量子計算に即した例で示した(第2論文)。さらに、これを混合状態の場合に拡張し、マスター方程式が成り立つ物理的状況(短時間のマルコフ過程の繰り返し)場合に同様の変分原理を定式化する。変分から、最適のハミルトニアンとリンドブラッド演算子が求まる。実例のスピン一個の系で興味深いことに、測定過程を用いて混合状態を経由する状態変化の方が速い場合がある。今後は、より現実的な終状態実現に誤差のある場合への拡張を行い、多キュービットの場合を数値的に解くことに進むが所定の目的は達したと考えている。

繰り込み群の方法は偏微分方程式の長時間の振舞いを調べるのに有用である.今年度はこのうちGoldenfeld-大野流の繰り込み群について調べた.これの実際の有用性を明確にするためには数学的な一般論が必要である.まず,このために,一般の自然ハミルトン系について,繰り込み群方程式はいつもハミルトン系になることを示した.また、繰り込まれた解は近似の範囲で同等な解を与えることを示した. 一方,理想流体の重力崩壊の臨界現象の以前からの研究において,Lyapunov解析を行うことにより臨界時空の不安定モードが唯一であることを示した部分,ユニバーサリティークラスの存在について示した部分を出版した. また,宇宙の平均化の問題について吟味した.その結果,提案されている平均化は空間の負曲率の部分を相対的に拡大し,正曲率の部分を相対的に縮小するようなものであるので,実際的ではないのではないかと結論した.

本課題研究の目的は量子系を素速く精確に制御する方法を明らかにすることである。制御とは系を所望の状態に保ったり変化させることを指す。量子系を自在 に制御するためには外場や測定の影響を理解する必要がある。特に、最適制御の研究は量子ダイナミクスの限界を明らかにするという基礎研究のみならず、情報処理への応用という面でも意義が大きい。例えば現在の量子計算機においては、量子状態が壊れてしまう前にできるだけ多くの計算を行うことをが必須である。 研究代表者は、従来から時間最適制御を変分原理により求める方法を開発してきた。それは「量子最速曲線法」と呼ばれている。昨年度は、時間最適量子制御に対する基礎理論を構築・確立した。与えられた制限下で所望の量子操作を最速に行う方法を求める理論である。これを、量子最 速曲線法を「ポントリャーギン最大値原理」という手法で拡張することで実現した。その結果、従来扱えなかった不等式拘束条件を扱えるようになり、理論および応用上遭遇するほぼ全ての状況に適用可能となった。 本年度は、確立された理論を実際に応用すべく研究を継続中である。特に、我々の方法を用いれば既存の方法を越えた計算速度を実現可能であることを示すための研究を遂行中である。特に、本学量子計算センターで利用可能な量子計算機実機への具体的応用をシミュレート中である。一方、確立した量子最速曲線理論の周知および普及にも資するべく、理論を招待公演にて紹介し、国外専門誌において来年度出版予定の招待論文を執筆中である。コロナ禍で多少の遅れが生じているが、研究の基礎段階の遂行および若手の研究協力者の育成を進めることができた。