Research projects

日本の数論は，高木貞治氏の類体論への寄与に代表されるように類体論を軸に発展してきた側面がある．この側面をさらに進展させる試みの一つとして，高次元類体論の相互法則をより深く理解することを本研究の目標としている．研究テーマの概要を以下に述べる． (i) Lubin--Tate空間の部分アフィノイドを用いた明示的相互法則の研究を行う. (ii) Lubin--Tate空間の部分アフィノイドの還元と関連する表現論の研究を行う. (iii) 最大曲線となるArtin--Schreier曲線の発見し，代数曲線の有理点の明示的計算を行う． (iv) 様々な局所体上の代数多様体あるいは解析的空間の安定還元の研究. 局所体上の代数多様体の安定還元を求める．

近年，非アルキメデス幾何は大きく発展しており多くの応用が得られている．しかし，非アルキメデス幾何は発展途上であり満足のいく基礎理論はまだ無い．超ケーラー多様体はアーベル多様体やK3曲面を含む多様体のクラスであり，美しい幾何的性質を持つだけでなく，数論や数理物理とも深いつながりを持つ．本研究では，非アルキメデス幾何の手法を用いて超ケーラー多様体の退化・崩壊やモジュライ空間の構造を解明し，数論・代数幾何・数理物理などの様々な分野の問題に応用する． 本研究課題の目的は、近年大きく発展している非アルキメデス幾何の手法を研究して、超ケーラー多様体やそのモジュライ空間の構造の研究を行い、数論・代数幾何・数理物理などの様々な分野の問題に応用することである。 この目的のため、昨年度に引き続き、本年度も研究集会やセミナーを開催して、非アルキメデス幾何や超ケーラー多様体に情報収集・情報交換を行った。感染症の状況が改善してきたため、対面での打ち合わせを中心に行うことで、研究を効果的に進めることができた。 本年度は、超ケーラー多様体の退化についての微分幾何的な研究を行った。また、超ケーラー多様体上の代数的サイクルや、非アルキメデス局所体上の退化族のモノドロミーについての研究を行った。有限体上のK3曲面に対するテイト予想の先行研究を踏まえると、より一般の超ケーラー多様体で同様の結果を得るには周期写像の非アルキメデス幾何的理解が重要であると考えられるので、複素数体上の周期写像の研究成果についての情報収集をより積極的に行い非アルキメデス類似についての研究を進めた。退化族のモノドロミーについては、複素数体上の計算は複素解析的・リー環論的な技術を用いるものであり、同様の手法は混標数や正標数の非アルキメデス局所体では適用できない。そこで、久賀-佐武アーベル多様体を補助的に使うことで困難を乗り切れると考え、アーベル多様体を経由したモノドロミー作用素の計算を行った。 これらの研究を進めるために、非アルキメデス幾何や超ケーラー多様体の関連分野についての知識・技能を持つ大学院生を複数名研究補佐員として雇用して研究に従事させ、専門的知識を提供させた。セミナーの参加者も増えており、充実した研究活動を行うことができた。 本研究課題は分野横断的なものであるため、様々な分野の研究者同士で研究打ち合わせを行うことが欠かせない。 感染症の状況が改善したため、今年度は対面での活動に重点を置いた。オンライン中心の前年度よりも効率よく研究を進めることができた。出張や研究者招聘も積極的に行うことができた。 超ケーラー多様体のコホモロジーやモジュライ空間の大域的構造についての研究を進めることができた。 前年度同様、大学院生を研究補佐員として雇用して研究に従事させた。今年度は雇用する大学院生の人数を増やして、セミナーを通じて専門的知識を提供してもらった。より大きな効果があった。 引き続き、今後も研究集会やセミナーを開催して、非アルキメデス幾何や超ケーラー多様体に情報収集・情報交換を行いながら研究活動を行う。 感染症の状況が改善されていれば、今後は対面での活動に重点を置く予定である。状況に応じてオンラインやハイブリッド（対面＋オンライン）での打ち合わせも併用する。 今後も引き続き非アルキメデス幾何や超ケーラー多様体の関連分野についての知識・技能を持つ大学院生やポスドクを研究補佐員として雇用して研究に従事させる予定である。様々な分野の研究者から専門的知識を提供してもらうことで、本研究課題の研究をさらに進めていく予定である。

Working on previous research concerning arithmetic geometric object called the “polylogarithm,” we formed a group of young researchers and attacked certain conjectures in arithmetic geometry. We succeeded in solving the p-adic Beilinson conjecture for certain Hecke characters of an imaginary quadratic field. This result is first such result in the non-cyclotomic case. We then discovered a potential candidate for the expression of the polylogarithm in the Hilbert modular case. We expect this candidate will play an important role in solving conjectures in arithmetic geometry.

We have studied Galois representations in a view point of Langlands program. More concretely, we have studied the local Langlands correspondence and the local Jacquet-Langlands correspondence geometrically through geometry of Lubin-Tate perfectoid space. An epipelagic representation means an easiest cuspidal representation of ramified type of a general linear group over a non-archimedean local field. For such representations, we have constructed a family of affinoids and its formal models, and studied the middle cohomology of the reductions of the models in a representation theoretic view point. As a result, we have constructed two correspondences between representations. We have proved that one of them corresponds to the local Jacquet-Langlands correspondence for epipelagic representations. As a by-product, we have shown the B-S-S conjecture for epipelagic representations. This conjecture asserts the compatibility of types under the local Jacquet-Langlands correspondence.

Langlands program is one of main themes in arithmetic geometry. Fermat's last theorem is reduced to Shimura-Taniyama conjecture. Andrew Wiles solves Fermat's last theorem by proving a special case of Shimura-Taniyama conjecture. Shimura-Taniyama conjecture is regarded as a part of Langlands program. Hence Langlands program deduces many important results in number theory. We have given a refinement on understanding of local Langlands program by studying geometric nature of Lubin-Tate spaces. We have studied a representation theoretic background of reduction of certain affinoids in the Lubin-Tate spaces. More precisely, we introduce a variety over finite field, whose middle cohomology realizes Heisenberg--Weil representation of unitary groups. This construction rises several applications in representation theory of finite groups. We have searched an application to modular representation theory.

Langlands program is one of main themes in arithmetic geometry. Fermat's last theorem is reduced to Shimura-Taniyama conjecture. Andrew Wiles solves Fermat's last theorem by proving a special case of Shimura-Taniyama conjecture. Shimura-Taniyama conjecture is regarded as a part of Langlands program. Hence Langlands program deduces many important results in number theory. We have given a refinement on understanding of local Langlands program by studying geometric nature of Lubin-Tate spaces. We have studied a representation theoretic background of reduction of certain affinoids in the Lubin-Tate spaces. More precisely, we introduce a variety over finite field, whose middle cohomology realizes Heisenberg--Weil representation of unitary groups. This construction rises several applications in representation theory of finite groups. We have searched an application to modular representation theory.

hを二以上の整数とする。一般h次元のLT(Lubin-Tate)空間あるいは、LT perfectoid spaceの中に分岐表現を実現するようなaffinoidの族を見つけて、それの標準還元を決定する研究を行った。 最近、Jared Weinsteinは、Lubin-Tate perfectoid spaceを定義し、その整モデルの定義方程式を決定し、その中にあるaffinoidの族を発見した。そして、その還元のコホモロジーGLh(K)の不分岐表現を実現していることを観察している。ここで、不分岐表現とは、LLC(局所ラングランズ対応)の下で、対応するガロワ表現が不分岐h選拡大体のWeil群の指標のinductionとして書ける表現のことである。以下、Kの剰余体の位数をq=p^f(f>0)とかく。LT perfectoid spaceとは、LT空間の成す射影系の極限の完備化で得られる形式スキームに付随する空間の生成ファイバーとして定義されるadic空間のことである。還元を計算する上で、有限のLT空間よりもLT perfectoid spaceを考えるメリットとしては、空間を被約化するステップが簡単になることと、還元へのヴェイユ群W-K,GL_h(K),不変量が1/hのK上のcentral division algebra D^{\times}の作用が直接的に計算できる、ということにあると思われる。今年度、私はLT perfectoid spaceの中に、GL_h(K)の導手指数がh+1の分岐表現を実現するようなaffinoidを見つけ、その還元を決定した。これは、h次元のアフィン超曲面になっている。これまでの計算で、(p,h)=1の場合にはあるアフィン超曲面がaffinoidの還元として現れることがわかった。これへのW_K,D^{\times},GL_h(K)の作用を決定し、どのような表現が実現されているかを研究した。その結果(p,h)=1の場合、出てくるガロワ表現はessentially tame(Bushnell-Henniartがtype理論に基づいて詳しく研究している。)というクラスの表現であり、比較的理解しやすい構造をしていることがわかった。

数論幾何の主対象の一つとしてガロワ表現がある。ガロワ表現と多様体の幾何的様相の関係を調べることは数論幾何学の目的の一つである。本研究課題では特に局所体上の代数多様体のエタールコホモロジーに現れるガロワ表現を調べることを目標にしている。代数多様体が良い還元を持たない場合には、そのガロワ表現は分岐する。その分岐具合と多様体の退化の具合との相関関係を調べることはとても興味深い。 当該年度においては、局所体上の代数多様体として超幾何曲線を考えてその開集合の良いモデルを調べることでコホモロジーをヒルベルト記号やガウス和を用いて具体的に記述するという研究を行った。ただ、条件や記述が現状かなり複雑であるので、もう少し綺麗に整理できないかを今後模索していく必要があると思っている。 またフルレベル構造を持つモジュラー曲線が標数3で悪い還元を持つ場合に、その安定還元がどうなるかは知られていない。この場合には超特異楕円曲線の自己同型群が大きくなるため、他の標数と違う現象が起きるはずである。レベルが低い場合にどのような現象が起きるかを模索した。これについて得られた結果は論文としてまとめ、論文発表する予定である。 Lubin--Tate空間のある種のaffinoidのコホモロジーに現れるガロワ表現の記述を以前行った。これに触発されて局所体上のガロワ表現の構成について研究を行った。任意の加法的多項式に対して， ある代数曲線のエタールコホモロジーを用いてガロワ表現を構成することができる． それに付随する幾つかの不変量の決定を行った． これについても論文作成を続けて行く予定である。

モジュラー曲線の安定モデルについての研究をおこなった。 一般に局所体上の曲線が与えられたとき、種数が2以上であれば、基礎体を適当に拡大して、そこに底変換すれば、安定モデルをもつことが、ドリーニュ・マンホードの定理により知られている。 しかし、具体的に曲線の定義方程式から、安定モデルを導くアルゴリズムは知られていない。数論的に興味深く、その安定モデルの様子がわかりたい曲線としてモジュラー曲線が挙げられる。この問題に関して知られている主な先行結果は以下の通りである。 レベルが1の場合には、井草、ドリーニュ・ラポポルトの研究で知られている。 レベルが2のときにもエデグスホーベンにより計算された。 レベルが3のときは、最近のコールマンの研究でわかった。 この問題をレベルが4の時に、証明した。 私の計算は大変初等的なものである。 この場合の新しい現象として、還元の中にドリーニュ・ルスチィック曲線があらわれることがわかった。 モジュラー曲線の安定モデルを研究する意義は、ラングランズ対応の理解に貢献があることである。 別の様々な数論的応用があることは言を待たない。 その意味で、モジュラー曲線の安定モデルの理解は重要で意義深い。 これは、私の研究目的であるガロワ表現の暴分岐と多様体の悪い還元の関係を一つ深く理解できたことになる。